Problem mit Lin. Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Di 25.11.2008 | | Autor: | Martin20 |
| Aufgabe | Sei
F : V -> V eine lineare Abbildung mit [mm] (F^2 [/mm] :=)F [mm] \circ [/mm] F = F und V ein K-Vektorraum.
Zeigen Sie, dass es Untervektorräume U,W von V gibt mit V = U [mm] \oplus [/mm] W und F(W) = 0 , F(u) = u für alle u [mm] \in [/mm] U.
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Hallo zusammen,
leider habe ich bei der obigen Aufgabe einige Schwierigkeiten...
Also ich weiß dass der Schnitt von U und W Null ist
und dass somit U und W V aufspannen.
Aber ich verstehe die Verknüpfung überhaupt nicht
und ich habe auch keine Ahnung, was F(W) = 0 in diesem Zusammenhang bedeutet. Außerdem ist mir nicht klar, wie ich die Existenz von U und W zeigen soll.
Danke für eure Hilfe!
Gruß Martin
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> Sei
> F : V -> V eine lineare Abbildung mit [mm](F^2[/mm] :=)F [mm]\circ[/mm] F = F
> und V ein K-Vektorraum.
> Zeigen Sie, dass es Untervektorräume U,W von V gibt mit V
> = U [mm]\oplus[/mm] W und F(W) = 0 , F(u) = u für alle u [mm]\in[/mm] U.
>
> Hallo zusammen,
>
> leider habe ich bei der obigen Aufgabe einige
> Schwierigkeiten...
>
> Also ich weiß dass der Schnitt von U und W Null ist
> und dass somit U und W V aufspannen.
>
> Aber ich verstehe die Verknüpfung überhaupt nicht
> und ich habe auch keine Ahnung, was F(W) = 0 in diesem
> Zusammenhang bedeutet. Außerdem ist mir nicht klar, wie
> ich die Existenz von U und W zeigen soll.
Hallo,
vorgegeben ist Dir ein lineare Abbildung [mm] F:V\to [/mm] V, welche die Eigenschaft hat, daß [mm] F=F\circ [/mm] F ist.
Es ist also für jedes [mm] v\in [/mm] V F(v)=F(F(v)).
Du sollst nun zeigen, daß Du zwei untervektorräume U und W findest, so daß V die direkte Summe von U und W ist (das ist nichts besonderes), und die UVRe U und W sollen gewisse Eigenschaften haben:
Es soll sein F(W)=0, das bedeutet [mm] W\subseteq [/mm] KernF,
und wenn man die Abbildung F eingeschränkt auf U betrachtet, ist es die identische Abbildung.
Ein Beispiel für solch eine funktion F wäre im [mm] \IR^3 [/mm] die Projektion auf die xy-Ebene, also [mm] F(\vektor{x\\y\\z})=\vektor{x\\y\\0}.
[/mm]
Nun muß man sich fragen, wie man zu den Unterräumen kommt.
Naja, weil ja [mm] W\subseteq [/mm] KernF sein soll, könnte man ja mal einen Versuchsballon starten und W:=KernF wählen.
Vielleicht überlegst Du jetzt mal ein bißchen allein weiter.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Di 25.11.2008 | | Autor: | Martin20 |
Hallo,
danke schon mal für deine Mühen.
Ich habe mir jetzt mal was dazu überlegt aber es könnte sein dass es ziemlich falsch ist....
Naja, also wenn ich nun W definiere als Ker(F) kann ich dann einfach U als Im(F) definieren?
Grüße Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Di 25.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum fragst du und pruefst nicht einfach ob diesees U die Bedingung erfuellt?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Di 25.11.2008 | | Autor: | Martin20 |
Hm ja...ich durchschau es irgendwie noch nicht so...
Also ich weiß auf jeden Fall, dass Im(F) ein UVR ist
aber ich weiß nicht ob damit U [mm] \oplus [/mm] W = V erfüllt ist.
Gruß Martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Di 25.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) du musst zuerst ueberpruefen ob fuer alle u gilt f(u)=u
b) welche Dimension hat K und I zusammen?
oder kannst du jedes v als Linearkomb von u und k schreiben ?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Di 25.11.2008 | | Autor: | Martin20 |
Hi,
ich glaube, dass die Dimension des Bildes + die Dimension des Kerns gleich der Dimension von V sein und meiner Meinung nach gilt auch für alle u f(u) = u.
Aber ich weiß nicht genau, wie ich v als Linearkombination von u und k schreiben kann.
Stimmen meine ersten zwei Annahmen überhaupt? Falls ja wäre es nett wenn mir jemand für das dritte einen Tipp geben könnte.
Gruß Martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Mi 26.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein vektorraum der in V leigt und die dimenson von V hat ist V! Hattet ihr denn den Dimensionssatz?
sonst nimm an es gibt ein v das nicht in I und nicht in K liegt. wende f darauf an. was stellst du fest?
dass f(u) =u ist solst du nicht glauben sondern zeigen, aus der Def von f!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Martin20 |
Hallo,
danke!
also den Satz hatten wir schon, aber es gilt ja auch dass ich wenn ich irgendein v nehme und sage das liegt nicht in I oder K, dann gilt ja F(F(v))=F(v) und das müsste doch eigentlich wieder im Bild liegen,was ein Widerspruch zur Annahme wäre und ich somit sagen kann dass alle v entweder in I oder K liegen oder?
Jetzt bleibt noch zu zeigen, dass F(u) = u. Wie meinst du das genau, dass ich das mit der Definition von F zeigen soll?
So?:
u Element V weil U UVR
zz.: F(u)=u
nach Def gilt: F(F(u)) = F(u) [mm] \Rightarrow [/mm] mit der Linearität von F: F(u)= u
stimmt wohl eher nicht oder?
Reicht das dann alles?Wenn ich halt noch dazu zeige dass Im und Kern UVR sind?
Vielen Dank und viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Mi 26.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein wenig durcheinander ist hier.
[mm] u\in [/mm] I heisst u=f(v)
wegen f(f(v))=f(v)=u
d.h. alle u aus I erfuellen die Bedingung von U, also ist I der gesuchte Unterraum.
bei einer Abb. V nach V ergibt K+I=V
wegen des dimensionssatzes.
Gruss leduart
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