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| Aufgabe | | Wie sieht der Maximum-Likelihood-Schätzer für den Parameter [mm] \lambda [/mm] einer Exponentialverteilung aus, ausgehend von n unabhängigen Beobachtungen [mm] x_{1}, [/mm] . . . , [mm] x_{n}? [/mm] |
Hallo zusammen,
ich hab hier folgendes Problem.
Und zwar hab ich mitlerweile rausgefunden, dass man einfach nur die Funktion f(x) = [mm] \lambda e^{-\lambda x} [/mm] nehmen muss, und deren Produkt maximieren soll.
Das hab ich getan und hab erhalten: [mm] f'(\lambda) [/mm] = [mm] n*\lambda^{n-1}*e^{-\lambda *(\summe_{i=1}^{n}X_{i})} [/mm] - [mm] \lambda^{n}(\summe_{i=1}^{n}X_{i})*e^{-\lambda *(\summe_{i=1}^{n}X_{i})}
[/mm]
Wenn ich das ganze dann 0 setze, erhalte ich :
[mm] n*\lambda^{n-1} [/mm] = [mm] \lambda^{n}*(\summe_{i=1}^{n}X_{i})
[/mm]
Wenn ich das weiter auflöse komm ich auf : [mm] \bruch{n}{(\summe_{i=1}^{n}X_{i})} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\lambda}
[/mm]
Jetzt kann ich es jedoch nicht weiter vereinfachen, dass es mit der Lösung [mm] \bruch{1}{\overline{X}} [/mm] übereinstimmt.
Wenn mir da evtl. jemand einen Tipp geben könnte, wäre ich sehr dankbar.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Do 17.12.2009 | | Autor: | luis52 |
> Wenn ich das weiter auflöse komm ich auf :
> [mm]\bruch{n}{(\summe_{i=1}^{n}X_{i})}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\lambda}[/mm]
>
[mm]\iff\bruch{1}{\bar X}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\lambda}[/mm]
vg Luis
(Solche Fragen liebe ich  )
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Ja schön und gut, jedoch steht ja aber in der Lösung :
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{1}{\overline{x}} [/mm] und nicht [mm] \bruch{1}{\lambda} =\bruch{1}{\overline{x}} [/mm]
Das ist ja gerade das, was mich verwirrt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Do 17.12.2009 | | Autor: | luis52 |
>
> Das ist ja gerade das, was mich verwirrt.
Huch, stimmt ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]") .
Kann es sein, dass die Loesung auf einer Dichte der Form [mm] $(1/\lambda)\exp[-x/\lambda]$ [/mm] basiert?
vg Luis
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Ähhm nein, in der Lösung beginnt sie mit der normalen Exponentialverteilung, aber ich glaube ich hab den Fehler jetzt entdeckt,
Und zwar hab ich falsch aufgelöst, das heist hier nicht :
[mm] \bruch{n}{(\summe_{i=1}^{n}X_{i})} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\lambda}, [/mm] sondern
[mm] \bruch{n}{(\summe_{i=1}^{n}X_{i})} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{\lambda}},
[/mm]
dann rutscht das [mm] \lambda [/mm] hoch und die Gleichung müsste stimmen.
Aber dennoch vielen Dank !
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