Problem mit Produktzeichen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Ihr,
ich habe hier folgende Aufgabe:
Für welche ganzen Zahlen gilt die Aussage:
[mm] \prod_{k=2}^{m} (1-\frac{1}{k^2} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(1+ \frac{1}{m})
[/mm]
Überlegen Sie sich, wie man das Produktzeichen auf der linken Seite der Gleichung im Fall m<2 sinnvoll interpretieren kann.
Also die wichtigste Frage ist....was passiert wenn m<2 [mm] \equiv [/mm] m<k ist.
Wird dann das Produkt 1? Weil ich habe einmal gelesen, dass egal welche Zahl ich, die kleiner m ist einsetze 1 rauskommt, andere Kommonitonen behaupten, man solle beides nacheinander einsetzen (also 2 und dann 1) und dann kommt ja 0 raus.
Was stimmt jetzt und was kommt für m<k raus? Falls 1 richtig ist, muss dann m [mm] \in [/mm] N sein?
Denn für m=1 würde dann ja das Produkt 1 und der Term hinter dem = würde dann ja [mm] \frac{1}{2} [/mm] (1+1= [mm] 2*\frac{1}{2} [/mm] = 1 also auch 1 werden. Für 1 würde es ja dann noch gelten, aber für m=0 nicht mehr....also falls die Behauptung richtig ist, dass ein Produkt immer 1 wird, wenn die obere Grenze kleiner ist als die Untere, wäre dann mein Ergebnis richtig?
Schreibt mal zurück, was ihr da denkt.
MfG euer Mathematiker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Di 26.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo DerMathematiker,
> Für welche ganzen Zahlen gilt die Aussage:
>
> [mm]\prod_{k=2}^{m} (1-\frac{1}{k^2}[/mm] = [mm]\frac{1}{2}(1+ \frac{1}{m})
[/mm]
>
>
> Überlegen Sie sich, wie man das Produktzeichen auf der
> linken Seite der Gleichung im Fall m<2 sinnvoll
> interpretieren kann.
>
> Also die wichtigste Frage ist....was passiert wenn m<2
> [mm]\equiv[/mm] m<k ist.
(hier ist [mm] $\equiv$ [/mm] etwas "frei" verwendet; für Äquivalenzen benutzt man lieber [mm] $\gdw$ [/mm] oder das Symbol mit den drei Punkten; ausserdem ist es fragwürdig, von m<k zu sprechen; m<2 reicht)
> Wird dann das Produkt 1? Weil ich habe einmal gelesen, dass
> egal welche Zahl ich, die kleiner m ist einsetze 1
> rauskommt,
Das stimmt so nicht. m ist doch die obere Grenze der Multiplikation. Du meinst aber sicher, "wenn die obere Grenze kleiner als die untere Grenze ist,...".
> andere Kommonitonen behaupten, man solle beides
> nacheinander einsetzen (also 2 und dann 1) und dann kommt
> ja 0 raus.
>
> Was stimmt jetzt und was kommt für m<k raus?
Du meinst, "was kommt für m<2 raus".
> Falls 1
> richtig ist, muss dann m [mm]\in[/mm] N sein?
> Denn für m=1 würde dann ja das Produkt 1 und der Term
> hinter dem = würde dann ja [mm]\frac{1}{2}[/mm] (1+1= [mm]2*\frac{1}{2}[/mm]
> = 1 also auch 1 werden. Für 1 würde es ja dann noch gelten,
> aber für m=0 nicht mehr....also falls die Behauptung
> richtig ist, dass ein Produkt immer 1 wird, wenn die obere
> Grenze kleiner ist als die Untere, wäre dann mein Ergebnis
> richtig?
Du hast Recht, für m=1 kann man dem leeren Produkt [mm] $\produkt_{k=2}^{m} \ldots$ [/mm] den Wert 1 geben.
In vielen Zusammenhängen --wie auch diesem hier, du hast es ja selbst nachgerechnet-- ist diese Festlegung sinnvoll.
Für m=0 (bzw. dann auch für m<0) fällt mir keine allgemeine sinnvolle Festlegung ein, und selbst wenn, wäre sie ja in diesem Zusammenhang sinnlos, da man ja auf jeden Fall über k=0 gehen müßte, wofür 1/k² aber nicht definiert ist.
Meine Antwort also: Für m=1 ist das Produkt 1, für m<0 ist es nicht definiert.
Hast du denn schon eine Idee, wie diese Formel zu beweisen ist bzw. ob sie auch für m>2 gilt?
Viele Grüße,
Marc
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Hallo Mark,
also ich habe vor den normalen Vorlesungen ein Mathe-Vorkurs für Informatiker besucht und dort wurde folgendes gesagt, ich zitiere:
[mm] \prod_{i=1}^{0}q [/mm] = 1 (für jeden Term q)
Ist dieses Produkt nur 1 weil die obere Grenze 0 ist oder ist dieses Produkt für jede obere Grenze<untere Grenze = 1???
Also ich bin ein wenig verwirrt.
Wie gehe ich denn vor, wenn meine obere Grenze<untere Grenze ist???
Ich dachte, sobald die obere Grenze < untere Grenze ist gilt für das Produkt = 1?????
Ist das jetzt falsch?
Nun um zu beweisen, ob es für m>2 gilt hat ein Freund von mir die vollständige Induktion benutzt, die wir zwar schon im Mathevorkurs verwendet haben, jedoch noch nicht in Lin.Alg., also wäre es ja ziemlich komisch, wenn die von uns eine vollst. Induktion erwarten würden, was wir, wenn wir nicht in diesem Vorkurs gewesen wären, nie gemacht haben???
Also allgemein habe ich beobachtet, haben viele für diese Aufgabe unterschiedliche Lösungsansetze und in meinem Buch "Repititorium Ananlysis" steht drin, dass bei Produkten bei denen die obere grenze<untere Grenze ist immer 1 rauskommt.
Ist das jetzt so oder nicht? Ich möchte einfach wissen, wie ich vorgehe, wenn so etwas wie hier der Fall ist.
Ich verstehe auch, dass wenn die obere Grenze 0 ist das ganze nicht definiert ist, aber das zwickt sich ja mit dieser Aussage, dass das Produkt....immer 1 ist.
Ich weiß jetzt nicht mehr was ich machen soll, kannst du mir das bisschen genauer erklären mark oder sonst wer?
Muss das Blatt am Freitag abgeben und es ist das erste bewertete Blatt und kurz vor der Klausur muss ich von allen Übungsaufgaben 50% richtig beantwortet haben, d.h. es geht um was, deswegen möchte ich diese Aufgabe auch selbst richtig lösen. Es bringt mir ja nichts, wenn ihr mir die Lösung gebt und ich sie abschreibe, ich muss es ja auch selbst verstehen.
MfG Andreas alias DerMathematiker
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Di 26.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Antreas,
> also ich habe vor den normalen Vorlesungen ein
> Mathe-Vorkurs für Informatiker besucht und dort wurde
> folgendes gesagt, ich zitiere:
>
> [mm]\prod_{i=1}^{0}q[/mm] = 1 (für jeden Term q)
>
> Ist dieses Produkt nur 1 weil die obere Grenze 0 ist oder
> ist dieses Produkt für jede obere Grenze<untere Grenze =
> 1???
>
> Also ich bin ein wenig verwirrt.
>
> Wie gehe ich denn vor, wenn meine obere Grenze<untere
> Grenze ist???
>
> Ich dachte, sobald die obere Grenze < untere Grenze ist
> gilt für das Produkt = 1?????
>
> Ist das jetzt falsch?
Nein.
Die Parallele zwischen diesem und dem vorherigen Beispiel ist, dass die obere Grenze um 1 kleiner als die untere Grenze ist (der konkrete Wert der unteren Grenze ist irrelevant).
Beispiele: [mm] $\produkt_{k=1}^0\ldots=\produkt_{k=13}^{12}\ldots=\produkt_{k=0}^{-1}\ldots=\produkt_{k=-231}^{-232}\ldots=1$
[/mm]
In all diesen Fällen entsteht ein leeres Produkt; in den meisten Fällen ist es sinnvoll, für das leere Produkt den Wert 1 festzulegen.
Für den Fall, dass die obere Grenze um mehr als 1 kleiner als die untere ist, gibt es meines Wissens nach keine Festlegung oder Definition des Multiplikation -- du kannst definieren, was du willst, es wäre eine uninteressante Verallgemeinerung der Multiplikation.
Dass diese Verallgemeinerung uninteressant ist, sieht man ja schon daran, dass jemand (siehe unten) einfach den Wert 1 definiert.
> Nun um zu beweisen, ob es für m>2 gilt hat ein Freund von
> mir die vollständige Induktion benutzt, die wir zwar schon
> im Mathevorkurs verwendet haben, jedoch noch nicht in
> Lin.Alg., also wäre es ja ziemlich komisch, wenn die von
> uns eine vollst. Induktion erwarten würden, was wir, wenn
> wir nicht in diesem Vorkurs gewesen wären, nie gemacht
> haben???
Ist das nicht ohnehin Schulstoff? Darauf deutet hin, dass ihr es im Vorkurs gemacht habt, da der doch nur zur Nivellierung des Schulstoffes dient.
> Also allgemein habe ich beobachtet, haben viele für diese
> Aufgabe unterschiedliche Lösungsansetze und in meinem Buch
> "Repititorium Ananlysis" steht drin, dass bei Produkten bei
> denen die obere grenze<untere Grenze ist immer 1 rauskommt.
>
>
> Ist das jetzt so oder nicht? Ich möchte einfach wissen, wie
> ich vorgehe, wenn so etwas wie hier der Fall ist.
>
> Ich verstehe auch, dass wenn die obere Grenze 0 ist das
> ganze nicht definiert ist, aber das zwickt sich ja mit
> dieser Aussage, dass das Produkt....immer 1 ist.
>
> Ich weiß jetzt nicht mehr was ich machen soll, kannst du
> mir das bisschen genauer erklären mark oder sonst wer?
Ich hoffe, das ist durch meine Erklärungen oben klarer geworden.
Allgemein anerkannt ist, dass das leere Produkt (untere Grenze-obere Grenze=1) den Wert 1 hat.
Was man weiter unterhalb der unteren Multiplikationsgrenze definiert, ist meist uninteressant.
> Muss das Blatt am Freitag abgeben und es ist das erste
> bewertete Blatt und kurz vor der Klausur muss ich von allen
> Übungsaufgaben 50% richtig beantwortet haben, d.h. es geht
> um was, deswegen möchte ich diese Aufgabe auch selbst
> richtig lösen. Es bringt mir ja nichts, wenn ihr mir die
> Lösung gebt und ich sie abschreibe, ich muss es ja auch
> selbst verstehen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , sehr vorbildlich bzw. der einzige Weg, das Studium zu schaffen.
Viele Grüße,
Marc
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Also Schulstoff ist die vollständige Induktion glaube ich nicht, aber ich habe verstanden, was du mir damit sagen wolltest und danke nochmal deswegen. Also mal sehen wie ich das löse.
Danke nochmal und noch zu dem Vorkurs...der war eigentlich um alle Inhalte des Studiums mal anzureisen und nicht nur den gleichen Standard der Erstemestler zu vermitteln.
Deswegen denke ich, dass ich das auch irgendwie anders lösen könnte...die Frage ist nur wie?!
Vielen Dank nochmal,
Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:11 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Andreas,
> Also Schulstoff ist die vollständige Induktion glaube ich
> nicht, aber ich habe verstanden, was du mir damit sagen
> wolltest und danke nochmal deswegen. Also mal sehen wie ich
> das löse.
Bei uns war das jedenfalls so (im LK), an der Uni wurde das prinzip nur einmal kurz vorgestellt (und in den Übungsaufgaben wie dieser hier erwartet).
> Danke nochmal und noch zu dem Vorkurs...der war eigentlich
> um alle Inhalte des Studiums mal anzureisen und nicht nur
> den gleichen Standard der Erstemestler zu vermitteln.
Echt? Klar, es werden immer Ausblicke auf den Uni-Stoff gegeben, aber die Orientierung sollte doch am Schulstoff stattfinden, jedenfalls dachte ich, das sei der Sinn eines Vorkurses.
> Deswegen denke ich, dass ich das auch irgendwie anders
> lösen könnte...die Frage ist nur wie?!
Ich habe es noch nicht probiert, aber stupides Ausmultiplizieren, gleichnamig machen und kürzen der linken Seite könnte auch zum Ziel führen.
Viele Grüße,
Marc
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Hallo Marc,
das was du gesagt hast stimmt nicht, siehe folgender Link:
![[]](/images/popup.gif) Hier klicken
Da steht wortwörtlich:
Ein Produktzeichen, bei dem die obere Grenze kleiner als die untere Grenze ist, heißt leeres Produkt. Das leere Produkt wird als 1 definiert.
Also ist das immer 1 und da das Produkt immer eins muss die Aussage auch 1 werden wenn es gelten soll. Dies ist jedoch nur bei m=1 der Fall, denn
0,5(1+1) = 2*0,5 = 1 sonst gilt dies nicht mehr.
MfG Andreas
PS: Wenn du das noch liest Marc melde dich mal dazu!
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