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Forum "Analysis-Sonstiges" - Problem mit Sattelpunkt
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Problem mit Sattelpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:15 Fr 01.05.2009
Autor: Gurk-o-vich

Aufgabe
1.0 Gegeben ist die Funktion [mm] f_{a} [/mm] mit
            [mm] f_{a}=\bruch{1}{8}(x^{3}+ax^{2}-3ax+5 [/mm]

1.2 Bestimmen Sie die Abszisse des Wendepunktes und bestimmen Sie, für welche a es Terassenpunkte gibt und geben Sie die Abszissen an.

Guten Tag, ich bin's mal wieder und stehe erneut vor einem (bestimmt) lösbaren Problem, für das ich aber leider keine Antwort weiß. Darum suche ich hier Hilfe :)

Voraussetzungen für WP:
- fa''(x)=0

Voraussetzungen für TeP (Terrassenpunkt):
- Sonderfall des WP (Wendepunkt)
- f'(x)=0 (x-Koord. von TeP)
- f(x)=0 (Nst.: 3-fach)

Rechnung
fa''(x)=0
[mm] \bruch{1}{8}(6x+2a)=0 [/mm]
6x+2a=0
[mm] x=-\bruch{1}{3}a [/mm]
-> Abszisse x des WP

[mm] f_{a}(-\bruch{1}{3})=\bruch{1}{8}(-\bruch{2}{27}a^{3}+a^{2}+5) [/mm]
[mm] f_{a}'(-\bruch{1}{3})=\bruch{1}{8}(-\bruch{1}{3}a^{2}-3a) [/mm]
[mm] f_{a}'(-\bruch{1}{3})=0 [/mm]
[mm] -\bruch{1}{3}a^{2}-3a=0 [/mm]
[mm] a(-\bruch{1}{3}a-3)=0 [/mm]
-> [mm] a_{1}=0 [/mm]
-> [mm] a_{2}=-9 [/mm]

[Somit hab ich schon mal meine a's]

Fall 1: [mm] a_{1}=0 [/mm]
[mm] f_{0}(x)=\bruch{1}{8}(x^{3}+0x^{2}-3*0x+5) [/mm]
[mm] f_{0}(x)=\bruch{1}{8}(x^{3}+5) [/mm]
-> [mm] x_{1,2,3}=-5 [/mm]
-> Lösung für [mm] a_{1}=0 [/mm] ist eine Nst. x=-5 (3-fach)
-> TeP an x=-5 für [mm] a_{1}=0 [/mm]

Fall 2: [mm] a_{2}=-9 [/mm]
[mm] f_{0}(x)=\bruch{1}{8}(x^{3}+(-9)x^{2}-3*(-9)x+5) [/mm]
[mm] f_{0}(x)=\bruch{1}{8}(x^{3}-9x^{2}+27x+5) [/mm]
[mm] x^{3}-9x^{2}+27x+5=0 [/mm]
-> Keine Lösung, da ich nicht auf x=? komme, um die Polynomdivision durchzuführen.

Ich hoffe, dass es im Ansatz und Großteils auch in der Durchführung stimmt. Ich bitte um dringende Hilfe :)

Gruß
Michael

PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Problem mit Sattelpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Fr 01.05.2009
Autor: MathePower

Hallo Gurk-o-vich,

> 1.0 Gegeben ist die Funktion [mm]f_{a}[/mm] mit
> [mm]f_{a}=\bruch{1}{8}(x^{3}+ax^{2}-3ax+5[/mm]
>  
> 1.2 Bestimmen Sie die Abszisse des Wendepunktes und
> bestimmen Sie, für welche a es Terassenpunkte gibt und
> geben Sie die Abszissen an.
>  Guten Tag, ich bin's mal wieder und stehe erneut vor einem
> (bestimmt) lösbaren Problem, für das ich aber leider keine
> Antwort weiß. Darum suche ich hier Hilfe :)
>  
> Voraussetzungen für WP:
>  - fa''(x)=0
>  
> Voraussetzungen für TeP (Terrassenpunkt):
>  - Sonderfall des WP (Wendepunkt)
>  - f'(x)=0 (x-Koord. von TeP)
>  - f(x)=0 (Nst.: 3-fach)
>  
> Rechnung
>  fa''(x)=0
>  [mm]\bruch{1}{8}(6x+2a)=0[/mm]
>  6x+2a=0
>  [mm]x=-\bruch{1}{3}a[/mm]
>  -> Abszisse x des WP

>  
> [mm]f_{a}(-\bruch{1}{3})=\bruch{1}{8}(-\bruch{2}{27}a^{3}+a^{2}+5)[/mm]
>  [mm]f_{a}'(-\bruch{1}{3})=\bruch{1}{8}(-\bruch{1}{3}a^{2}-3a)[/mm]
>  [mm]f_{a}'(-\bruch{1}{3})=0[/mm]
>  [mm]-\bruch{1}{3}a^{2}-3a=0[/mm]
>  [mm]a(-\bruch{1}{3}a-3)=0[/mm]
>  -> [mm]a_{1}=0[/mm]

>  -> [mm]a_{2}=-9[/mm]


Stimmt. [ok]


>  
> [Somit hab ich schon mal meine a's]
>  
> Fall 1: [mm]a_{1}=0[/mm]
>  [mm]f_{0}(x)=\bruch{1}{8}(x^{3}+0x^{2}-3*0x+5)[/mm]
>  [mm]f_{0}(x)=\bruch{1}{8}(x^{3}+5)[/mm]
>  -> [mm]x_{1,2,3}=-5[/mm]

>  -> Lösung für [mm]a_{1}=0[/mm] ist eine Nst. x=-5 (3-fach)

>  -> TeP an x=-5 für [mm]a_{1}=0[/mm]

>  
> Fall 2: [mm]a_{2}=-9[/mm]
>  [mm]f_{0}(x)=\bruch{1}{8}(x^{3}+(-9)x^{2}-3*(-9)x+5)[/mm]
>  [mm]f_{0}(x)=\bruch{1}{8}(x^{3}-9x^{2}+27x+5)[/mm]
>  [mm]x^{3}-9x^{2}+27x+5=0[/mm]
>  -> Keine Lösung, da ich nicht auf x=? komme, um die

> Polynomdivision durchzuführen.


Hier berechnest Du offensichtlich die Nullstellen von  [mm]f\left(x\right)[/mm].

Die Bedingungnen für einen Terrassenpunk (Sattelpunkt)
ist doch hier [mm]f'\left(x\right)=f''\left(x\right)=0, \ f'''\left(x\right) \not=0[/mm].


>  
> Ich hoffe, dass es im Ansatz und Großteils auch in der
> Durchführung stimmt. Ich bitte um dringende Hilfe :)
>  
> Gruß
>  Michael
>  
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Problem mit Sattelpunkt: f(x)=0 für Abszissen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:13 Fr 01.05.2009
Autor: Gurk-o-vich

Aber nachdem ich a berechnet habe, muss ich doch noch die Abszissen errechnen! Das geht doch mit f(x)=0, oder täusche ich mich da?

Bezug
                        
Bezug
Problem mit Sattelpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:24 Fr 01.05.2009
Autor: MathePower

Hallo Gurk-o-vich,

> Aber nachdem ich a berechnet habe, muss ich doch noch die
> Abszissen errechnen! Das geht doch mit f(x)=0, oder täusche
> ich mich da?


Du hast jetzt die a's herausbekommen, nun, denke ich,
mußt Du die Abszissen mittels

[mm]x=-\bruch{1}{3}a[/mm]

angegeben.


Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Problem mit Sattelpunkt: Lösung gefunden
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:27 Fr 01.05.2009
Autor: Gurk-o-vich

Danke vielmals. Das hatte ich schon mal eingesetzt in f(x) und dann dürfte schon etwas herauskommen.

Schönen Abend noch
Michael

Bezug
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