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| Aufgabe | 1.0 Gegeben ist die Funktion [mm] f_{a} [/mm] mit
[mm] f_{a}=\bruch{1}{8}(x^{3}+ax^{2}-3ax+5
[/mm]
1.2 Bestimmen Sie die Abszisse des Wendepunktes und bestimmen Sie, für welche a es Terassenpunkte gibt und geben Sie die Abszissen an. |
Guten Tag, ich bin's mal wieder und stehe erneut vor einem (bestimmt) lösbaren Problem, für das ich aber leider keine Antwort weiß. Darum suche ich hier Hilfe :)
Voraussetzungen für WP:
- fa''(x)=0
Voraussetzungen für TeP (Terrassenpunkt):
- Sonderfall des WP (Wendepunkt)
- f'(x)=0 (x-Koord. von TeP)
- f(x)=0 (Nst.: 3-fach)
Rechnung
fa''(x)=0
[mm] \bruch{1}{8}(6x+2a)=0
[/mm]
6x+2a=0
[mm] x=-\bruch{1}{3}a
[/mm]
-> Abszisse x des WP
[mm] f_{a}(-\bruch{1}{3})=\bruch{1}{8}(-\bruch{2}{27}a^{3}+a^{2}+5)
[/mm]
[mm] f_{a}'(-\bruch{1}{3})=\bruch{1}{8}(-\bruch{1}{3}a^{2}-3a)
[/mm]
[mm] f_{a}'(-\bruch{1}{3})=0
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{3}a^{2}-3a=0
[/mm]
[mm] a(-\bruch{1}{3}a-3)=0
[/mm]
-> [mm] a_{1}=0
[/mm]
-> [mm] a_{2}=-9
[/mm]
[Somit hab ich schon mal meine a's]
Fall 1: [mm] a_{1}=0
[/mm]
[mm] f_{0}(x)=\bruch{1}{8}(x^{3}+0x^{2}-3*0x+5)
[/mm]
[mm] f_{0}(x)=\bruch{1}{8}(x^{3}+5)
[/mm]
-> [mm] x_{1,2,3}=-5
[/mm]
-> Lösung für [mm] a_{1}=0 [/mm] ist eine Nst. x=-5 (3-fach)
-> TeP an x=-5 für [mm] a_{1}=0
[/mm]
Fall 2: [mm] a_{2}=-9
[/mm]
[mm] f_{0}(x)=\bruch{1}{8}(x^{3}+(-9)x^{2}-3*(-9)x+5)
[/mm]
[mm] f_{0}(x)=\bruch{1}{8}(x^{3}-9x^{2}+27x+5)
[/mm]
[mm] x^{3}-9x^{2}+27x+5=0
[/mm]
-> Keine Lösung, da ich nicht auf x=? komme, um die Polynomdivision durchzuführen.
Ich hoffe, dass es im Ansatz und Großteils auch in der Durchführung stimmt. Ich bitte um dringende Hilfe :)
Gruß
Michael
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Gurk-o-vich,
> 1.0 Gegeben ist die Funktion [mm]f_{a}[/mm] mit
> [mm]f_{a}=\bruch{1}{8}(x^{3}+ax^{2}-3ax+5[/mm]
>
> 1.2 Bestimmen Sie die Abszisse des Wendepunktes und
> bestimmen Sie, für welche a es Terassenpunkte gibt und
> geben Sie die Abszissen an.
> Guten Tag, ich bin's mal wieder und stehe erneut vor einem
> (bestimmt) lösbaren Problem, für das ich aber leider keine
> Antwort weiß. Darum suche ich hier Hilfe :)
>
> Voraussetzungen für WP:
> - fa''(x)=0
>
> Voraussetzungen für TeP (Terrassenpunkt):
> - Sonderfall des WP (Wendepunkt)
> - f'(x)=0 (x-Koord. von TeP)
> - f(x)=0 (Nst.: 3-fach)
>
> Rechnung
> fa''(x)=0
> [mm]\bruch{1}{8}(6x+2a)=0[/mm]
> 6x+2a=0
> [mm]x=-\bruch{1}{3}a[/mm]
> -> Abszisse x des WP
>
> [mm]f_{a}(-\bruch{1}{3})=\bruch{1}{8}(-\bruch{2}{27}a^{3}+a^{2}+5)[/mm]
> [mm]f_{a}'(-\bruch{1}{3})=\bruch{1}{8}(-\bruch{1}{3}a^{2}-3a)[/mm]
> [mm]f_{a}'(-\bruch{1}{3})=0[/mm]
> [mm]-\bruch{1}{3}a^{2}-3a=0[/mm]
> [mm]a(-\bruch{1}{3}a-3)=0[/mm]
> -> [mm]a_{1}=0[/mm]
> -> [mm]a_{2}=-9[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [Somit hab ich schon mal meine a's]
>
> Fall 1: [mm]a_{1}=0[/mm]
> [mm]f_{0}(x)=\bruch{1}{8}(x^{3}+0x^{2}-3*0x+5)[/mm]
> [mm]f_{0}(x)=\bruch{1}{8}(x^{3}+5)[/mm]
> -> [mm]x_{1,2,3}=-5[/mm]
> -> Lösung für [mm]a_{1}=0[/mm] ist eine Nst. x=-5 (3-fach)
> -> TeP an x=-5 für [mm]a_{1}=0[/mm]
>
> Fall 2: [mm]a_{2}=-9[/mm]
> [mm]f_{0}(x)=\bruch{1}{8}(x^{3}+(-9)x^{2}-3*(-9)x+5)[/mm]
> [mm]f_{0}(x)=\bruch{1}{8}(x^{3}-9x^{2}+27x+5)[/mm]
> [mm]x^{3}-9x^{2}+27x+5=0[/mm]
> -> Keine Lösung, da ich nicht auf x=? komme, um die
> Polynomdivision durchzuführen.
Hier berechnest Du offensichtlich die Nullstellen von [mm]f\left(x\right)[/mm].
Die Bedingungnen für einen Terrassenpunk (Sattelpunkt)
ist doch hier [mm]f'\left(x\right)=f''\left(x\right)=0, \ f'''\left(x\right) \not=0[/mm].
>
> Ich hoffe, dass es im Ansatz und Großteils auch in der
> Durchführung stimmt. Ich bitte um dringende Hilfe :)
>
> Gruß
> Michael
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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Aber nachdem ich a berechnet habe, muss ich doch noch die Abszissen errechnen! Das geht doch mit f(x)=0, oder täusche ich mich da?
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Hallo Gurk-o-vich,
> Aber nachdem ich a berechnet habe, muss ich doch noch die
> Abszissen errechnen! Das geht doch mit f(x)=0, oder täusche
> ich mich da?
Du hast jetzt die a's herausbekommen, nun, denke ich,
mußt Du die Abszissen mittels
[mm]x=-\bruch{1}{3}a[/mm]
angegeben.
Gruß
MathePower
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Danke vielmals. Das hatte ich schon mal eingesetzt in f(x) und dann dürfte schon etwas herauskommen.
Schönen Abend noch
Michael
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