Problem mit dem Span < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:48 Do 28.04.2005 | | Autor: | i-n |
Hallo, es dreht sich um folgende Aufgabe:
Seien [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] und [mm] $0\not=z_0\in\mathbb{K}$ [/mm] gegeben. Zeigen Sie, dass
[mm] $$\mathbb{K}^n=\mbox{Span}\{(1,z_0^k,z_0^{2k},\ldots,z_0^{(n-1)k})\in\mathbb{K}\ |\ 1\leq k\leq n+1$$
ist.
(Hinweis: Betrachten Sie ($\mbox{Span}\{(1,z_0^k,z_0^{2k},\ldots,z_0^{(n-1)k})\in\mathbb{K}^n\ |\ 1\leq k\leq n+1\})^\bot$.)
Soweit die Aufgabe, jetzt mal meine Gedanken dazu:
Voraussetzung: Seo $n\in\mathbb{N},z_0\in\mathbb{K}$ mit $z\not=0\wedge|z_0|\not=1$ gegeben.
Behauptung: $$\mathbb{K}^n=\mbox{Span}\{(1,z_0^k,z_0^{2k},\ldots,z_0^{(n-1)k})\in\mathbb{K}^n\ |\ 1\leq k\leq n+1\}$$
Beweis:
"$\supseteq$" trivial, der Aufspann von Vektoren aus $\mathbb{K}^n$ liegt in $\mathbb{K}^n$, da $\mathbb{K}^n$ Vektorraum ist.
Ansatz für "$\subseteq$":
$\mathbb{K}^{n\bot}=\{\underbrace{0}_{\in\mathbb{K}^n}\}$
D.h. zu zeigen ist
$$$$(\mbox{Span}\{(1,z_0^k,\ldots,z_0^{(n-1)k})\in\mathbb{K}^n\ |\ 1\leq k\leq n+1\})^\bot=\{\underbrace{0}_{\in\mathbb{K}^n}\}$$
$$\mathbb{K}^{n\bot}:=\{y\in\mathbb{K}^n\ |\ \ \forall\ x\in\mathbb{K}^n:x\ \bot\ y\}$$
Zu zeigen ist also für $y\in\mathbb{K}^n$:
$$(\ \forall\ x\in\mbox{Span}(1,z_0^k,\ldots,z_0^{(n-1)k})\in\mathbb{K}^n\ |\ 1\leq k\leq n+1\}:=0)\Rightarrow [/mm] y=0$$
D.h. für beliebge [mm] $\lambda_1,\ldots,\lambda_{n+1}\in\mathbb{K}^n$:
[/mm]
[mm] $$\left<\lambda_1\begin{pmatrix}
1\\
z_0^1\\
\vdots\\
z_0^{n-1}
\end{pmatrix}
+\lambda_2\begin{pmatrix}
1\\
z_0^2\\
\vdots\\
z_0^{2(n-1)}
\end{pmatrix}+\ldots+\lambda_{n+1}\begin{pmatrix}
1\\
z_0^{n+1}\\
\vdots\\
z_0^{(n+1)(n-1)}
\end{pmatrix}\ \Big|\ y\right>=0$$
[/mm]
($<.\ |\ y>$ [mm] linear)$\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $$\lambda_1\left<\begin{pmatrix}
1\\
z_0^1\\
\vdots\\
z_0^{n-1}
\end{pmatrix}\ \Big|\ y\right>
[/mm]
[mm] +\lambda_2\left<\begin{pmatrix}
1\\
z_0^2\\
\vdots\\
z_0^{2(n-1)}
\end{pmatrix}\ \Big|\ y\right>+\ldots+\lambda_{n+1}\left<\begin{pmatrix}
1\\
z_0^{n+1}\\
\vdots\\
z_0^{(n+1)(n-1)}
\end{pmatrix}\ \Big|\ y\right>=0$$
[/mm]
Da [mm] $\lambda_1,\ldots,\lambda_{n+1}$ [/mm] frei gewählt werden können, gilt:
[mm] $$\left<\begin{pmatrix}
1\\
z_0^1\\
\vdots\\
z_0^{n-1}
\end{pmatrix}\ \Big|\ y\right>
[/mm]
[mm] =0\wedge\left<\begin{pmatrix}
1\\
z_0^2\\
\vdots\\
z_0^{2(n-1)}
\end{pmatrix}\ \Big|\ y\right>=0\wedge\ldots\wedge\left<\begin{pmatrix}
1\\
z_0^{n+1}\\
\vdots\\
z_0^{(n+1)(n-1)}
\end{pmatrix}\ \Big|\ y\right>=0$$
[/mm]
Zu zeigen ist also:
[mm] $$\left(\ \forall\ k\in\{1,\ldots,n+1\}:\underbrace{\sum_{j=1}^nz_0^{(j-1)k}\overline{y}_j}_{\mbox{Definition Skalarprodukt}}=0\right)\Rightarrow y=(y_1,\ldotsmy_n)=0$$
[/mm]
So und nun komme ich nicht weiter. Es wäre schön, wenn mir jemand hier helfen könnte...
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Hallo!
Zuerst mal: Ich glaube das es heißen muss
[mm]\mathbb{K}^n=\mbox{Span}\{(1,z_0^k,z_0^{2k},\ldots,z_0^{(n-1)k})\in\mathbb{K}\ |\ 1\leq k\leq n[/mm]
statt
> [mm]\mathbb{K}^n=\mbox{Span}\{(1,z_0^k,z_0^{2k},\ldots,z_0^{(n-1)k})\in\mathbb{K}\ |\ 1\leq k\leq n+1[/mm]
und zwar aus Dimensionsgründen. Jetzt aber:
Du brauchst einen Vektor [mm] $y\in\IK^n$, [/mm] der auf deinen $n$ Vektoren, die [mm] $\IK^n$ [/mm] angeblich aufspannen sollen (die bezeichne ich jetzt mal mit [mm] $x_k$...), [/mm] orthogonal steht:
[mm] $0=\langle y;x_k\rangle=\sum\limits_{i=1}^n y_iz_0^{(i-1)k}=\sum\limits_{i=0}^ny_{i+1}(z_0^k)^{i}$.
[/mm]
Jetzt definiere ich mir ein Polynom [mm] $P(z):=\sum\limits_{i=0}^{n-1}y_{i+1}z^{i}$.
[/mm]
Anhand obiger Gleichung sieht man, dass [mm] $P(z_0^k)=0$ [/mm] für [mm] $k\in\{1,\dots,n\}$. [/mm] Wenn aber diese Potenzen paarweise verschieden sind - und das sind sie im Fall [mm] $z_0\ne [/mm] 0$ und [mm] $|z_0|\ne [/mm] 1$ - hat dieses Polynom $n$ Nullstellen, ist aber nur vom Grad $n-1$. Also ist es das Nullpolynom und damit $y=0$. Also ist [mm] $\mathrm{span}\big\{x_k:\ k\in\{1,\dots,n\}\big\}^\bot=\{0\}$...
[/mm]
Gruß, banachella
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