Problem mit der Eigenwertbesti < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Fr 20.01.2012 | | Autor: | JepJep |
Hallo,
ich hab mit folgender Aufgabe ein Problem. Von folgender Matrix soll ich die Eigenvektoren bestimmen:
[mm] \begin{pmatrix}
3 & 2 & -1 \\
2 & 6 & -2 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
[/mm]
Also vorerst habe ich die Eigenwerte bestimmt diese lauten
[mm] \lambda [/mm] 1 = 2
[mm] \lambda [/mm] 2 = 2
[mm] \lambda [/mm] 3 = 7
Wie bekomme ich jetzt die Eigenvektoren raus? Ich habe das Ergebnis von meiner Professorin aber ich komme einfach nicht drauf.
Ich hoffe einer von euch kann mir helfen.
Danke schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo
Die Eigenvektoren bekommst du, wenn du den Kern von [mm] (A-\lambda_{i}*I) [/mm] berechnest, wobei I die Einheitsmatrix ist und [mm] \lambda_{i} [/mm] der Eiegnwert.
Gruß
TheBozz-mismo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Fr 20.01.2012 | | Autor: | JepJep |
ja das hab ich mir schon gedacht und hab es ausprobiert aber bei meinen rechnungen komm ich auf keinen grünen zeig vllt könnte das jemand auch mal rechen und mir sagen was rauskommt
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Hallo
In Zukunft poste doch bitte deine Rechnung, damit man sieht, wo genau deine Fehler ist.
Im Prinzip muss man nur ein Gleichungssystem lösen.
Für [mm] \lambda=2 [/mm] bekommt man
ker($ [mm] \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} [/mm] $)
Nun musst du folgendes Gleichungssystem lösen
1. x+2y-z=0
2. 2x+4y-2z=0
Du siehst, dass die Vektoren linear abhängig sind und nun musst du nur ein Vektor (x,y,z) finden, der Gleichung 1 erfüllt und schon hast du deinen Eigenvektor.
Du kannst auch selbst überprüfen, ob dein Eigenvektor richtig ist, denn nach Definition muss ja für Eigenvektor v zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] gelten:
[mm] A*v=\lambda*v, [/mm] wobei v ungleich 0 sein muss!
Gruß
TheBozz-mismo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Fr 20.01.2012 | | Autor: | JepJep |
danke schon mal für diesen schritt aber mein Problem jetzt ist das ich doch 3 unbekannte habe aber nur 2 Gleichungen und das verstehe ich nicht .
entschuldigt für meine Unwissenheit
danke schon mal
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Hallo nochmal
Im Prinzip hast du ja nur eine Gleichung, da 2mal die erste Gleichung die zweite Gleichung ist.
Du hast x+2y-z=0. Setze nun z=1
=> x+2y=1. Nun suche x,y so, dass die Gleichung erfüllt ist. Es gibt es zu einem Eigenwert nicht einen Eigenvektor.
Ein Eigenvektor ist [mm] \vektor{2 \\ -\bruch{1}{2} \\ 1} [/mm] und wie gesagt kannst du das überprüfen, indem du den Eigenvektor in die im letzten Post genannte Gleichung setze.
Gruß
TheBozz-mismo
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