Problem mit einer Geradenschar < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Di 16.05.2006 | | Autor: | philka |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f durch die Gleichung y = f(x) = - ½x4 + 3x²
Für jede reelle Zahl a (a ≠ 0) ist eine Funktion ga durch die Gleichung y = ga(x) = a·f(x) gegeben.
Ermitteln Sie den Wert a so, dass für alle Elemente y des Wertebereichs der Funktion ga gilt: y [mm] \varepsilon [/mm] R und y ≥ -9.
Die Tangenten an den Graphen der Funktion ga in den Wendepunkten sind sa und ta.
Bestimmen Sie alle Werte a, für die sich die Tangenten sa und ta rechtwinklig schneiden.
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Kann mir jemand vielleicht nen Tipp geben oder erklären wie ich das ganze lösen kann?
Danke schonmal!
MfG Philka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Di 16.05.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo Philka.
> Gegeben ist die Funktion f durch die Gleichung y = f(x) = -
> ½x4 + 3x²
Damit meinst du sicherlich $f(x) = [mm] 0.5x^4+3x^2$. [/mm] Aber nette Schreibweise ;)
> Für jede reelle Zahl a (a ≠ 0) ist eine Funktion ga
> durch die Gleichung y = ga(x) = a·f(x) gegeben.
> Ermitteln Sie den Wert a so, dass für alle Elemente y des
> Wertebereichs der Funktion ga gilt: y [mm]\varepsilon[/mm] R und y
> ≥ -9.
Ich denke mal, dass für alle a y [mm] \in \IR [/mm] gilt.
Zu dem: $y [mm] \ge [/mm] -9$: Alle Y-Werte müssen größer gleich -9 sein. D. h. das (evtl.) globale Minimum muss bei y=-9 liegen.
> Die Tangenten an den Graphen der Funktion ga in den
> Wendepunkten sind sa und ta.
> Bestimmen Sie alle Werte a, für die sich die Tangenten sa
> und ta rechtwinklig schneiden.
Hier kommst du mit der Formel [mm] $m_s_a*m_t_a=-1$ [/mm] weiter. Zunächst musst du allerdings die Tangentengleichung der Wendepunkte dazu aufstellen.
> Kann mir jemand vielleicht nen Tipp geben oder erklären wie
> ich das ganze lösen kann?
>
Kriegst du das hin?
> Danke schonmal!
>
>
> MfG Philka
MfG Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Di 16.05.2006 | | Autor: | philka |
Sorry, aber die Funktion f muss lauten:
[mm] \bruch{-1}{2}*X^{4}+3X²
[/mm]
Also das mit dem globalen Minimum sehe ich zwar ein, weiß aber nicht wie ich jetzt das dazugehörige a berechnen kann.
Zu den Tangenten:
Die Anstiege der Tangenten an den Wendepunkten sind doch g(x)´´´ oder?
Und die Wendepunkte sind:
W1(a*1/a*2,5) und W2(a*-1/a*2,5)
also sind die Anstiege der beiden Wendepunkttangenten hoffe ich a*12 und a*(-12)
also muss man das hier Lösen:
a*12*a*-12=-1
also sind die zur Lösung der letzten Aufgabe 0,83333333 und -0,8333333, richtig?
Und was mach ich mit dem ersten Problem, mit dem wertebreich :)?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:31 Mi 17.05.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Philka,
Aufgabe
Gegeben ist die Funktion f durch die Gleichung y = f(x) = - ½x4 + 3x²
Für jede reelle Zahl a (a ≠ 0) ist eine Funktion ga durch die Gleichung y = ga(x) = a·f(x) gegeben.
Ermitteln Sie den Wert a so, dass für alle Elemente y des Wertebereichs der Funktion ga gilt: y $ [mm] \varepsilon [/mm] $ R und y ≥ -9.
Die Tangenten an den Graphen der Funktion ga in den Wendepunkten sind sa und ta.
Bestimmen Sie alle Werte a, für die sich die Tangenten sa und ta rechtwinklig schneiden.
> Sorry, aber die Funktion f muss lauten:
> [mm]\bruch{-1}{2}*X^{4}+3X²[/mm]
> Also das mit dem globalen Minimum sehe ich zwar ein, weiß
> aber nicht wie ich jetzt das dazugehörige a berechnen
> kann.
Kann es sein, dass in der Aufgabenstellung ein Schreibfehler ist? Die Funktion besitzt kein absolutes Minimum. Damit wäre Teil a) nicht lösbar.
Disap hat recht. Di Funktion f besitzt ein absolutes Maximum. Damit besitzt die Funktion [mm] g_a [/mm] ein absolutes Minimum für a<0
>
> Zu den Tangenten:
> Die Anstiege der Tangenten an den Wendepunkten sind doch
> g(x)´´´ oder?
Nein. Die Anstiege einer Tangente bekommst du immer über die erste Ableitung.
> Und die Wendepunkte sind:
>
> W1(a*1/a*2,5) und W2(a*-1/a*2,5)
Zum Glück hat Disap nachgerechnet. Auch hier hat er recht. ich war wohl noch nicht ganz wach. Die Wendestellen sind $ [mm] \pm [/mm] 1 $. Damit hast du ja auch die y-Werte berechnet.
Danke Disap
>
> also sind die Anstiege der beiden Wendepunkttangenten hoffe
> ich a*12 und a*(-12)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die Steigungen sind $ g'(1) $ und $ g'(-1) $
>
> also muss man das hier Lösen:
>
Entsprechend
$ g'(1) [mm] \cdot [/mm] g'(-1) = -1 $
>
> also sind die zur Lösung der letzten Aufgabe 0,83333333 und
> -0,8333333, richtig?
> Und was mach ich mit dem ersten Problem, mit dem
> wertebreich :)?
Gruß
Sigrid
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:49 Mi 17.05.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo Sigrid.
> Aufgabe
> Gegeben ist die Funktion f durch die Gleichung y = f(x) =
> - ½x4 + 3x²
>
> Für jede reelle Zahl a (a ≠ 0) ist eine Funktion ga
> durch die Gleichung y = ga(x) = a·f(x) gegeben.
> Ermitteln Sie den Wert a so, dass für alle Elemente y des
> Wertebereichs der Funktion ga gilt: y [mm]\varepsilon[/mm] R und y
> ≥ -9.
> Kann es sein, dass in der Aufgabenstellung ein
> Schreibfehler ist? Die Funktion besitzt kein absolutes
> Minimum. Damit wäre Teil a) nicht lösbar.
Die zu untersuchende Funktion lautet doch [mm] $g_a(x)= a\cdot [/mm] f(x)$
also [mm] $g_a(x)= [/mm] a [mm] \cdot (0.5x^4+3x^2)$.
[/mm]
Damit ist sie lösbar, das a hat überhaupt keine Auswirkungen auf die Extremstellen.
> >
> > Zu den Tangenten:
> > Die Anstiege der Tangenten an den Wendepunkten sind
> doch
> > g(x)´´´ oder?
>
> Nein. Die Anstiege einer Tangente bekommst du immer über
> die erste Ableitung.
>
> > Und die Wendepunkte sind:
> >
> > W1(a*1/a*2,5) und W2(a*-1/a*2,5)
>
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und wie kommt man dann darauf? Die stimmen auch nicht, wenn meine obengenannte 'Funktion' stimmt.
> > also sind die Anstiege der beiden Wendepunkttangenten hoffe
> > ich a*12 und a*(-12)
>
>
>
> Die Steigungen sind [mm]g'(a)[/mm] und [mm]g'(-a)[/mm]
> >
> > also muss man das hier Lösen:
> >
> Entsprechend
>
> [mm]g'(a) \cdot g'(-a) = -1[/mm]
> >
> > also sind die zur Lösung der letzten Aufgabe 0,83333333 und
> > -0,8333333, richtig?
> > Und was mach ich mit dem ersten Problem, mit dem
> > wertebreich :)?
>
> Überprüf bitte nochmal die Aufgabenstellung, insbesondere
> die Ungleichung.
MfG!
Disap
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:24 Mi 17.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Moin Disap!
> > Kann es sein, dass in der Aufgabenstellung ein
> > Schreibfehler ist? Die Funktion besitzt kein absolutes
> > Minimum. Damit wäre Teil a) nicht lösbar.
>
> Die zu untersuchende Funktion lautet doch [mm]g_a(x)= a\cdot f(x)[/mm]
> also [mm]g_a(x)= a \cdot (0.5x^4+3x^2)[/mm].
[mm] $g_a(x) [/mm] \ = \ [mm] a*\left(\red{-} \ \bruch{1}{2}x^4+3x^2\right)$
[/mm]
> Damit ist sie lösbar, das a hat überhaupt keine Auswirkungen auf die
> Extremstellen.
Nicht auf die Lage der Extremstellen, aber auf die Art der Extrema: sprich: ob Maximum oder Minimum!
Und hier gibt es meiner Meinung nach einen Widerspruch.
Damit es ein absolutes Minimum geben kann (wegen $y \ [mm] \ge [/mm] \ -9$), muss gelten: $a \ [mm] \red{<} [/mm] \ 0$ (hinreichendes Kriterium mit der 2. Ableitung [mm] $g_a''(x_E) [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ 0$ ).
Beim Auflösen nach $a_$ erhalte ich jedoch: $a \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] .
Edit: Bitte Disap's Artikel sowie meine nächste Mitteilung beachten.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Mi 17.05.2006 | | Autor: | dth100 |
Hallo, ich machs mal auführlich
f(x) = [mm] -\bruch{1}{2}x^{4} [/mm] + [mm] 3x^{2}
[/mm]
ga(x) = [mm] -\bruch{1}{2}ax^{4} [/mm] + [mm] 3ax^{2}
[/mm]
g'a(x) = [mm] -2ax^{3} [/mm] +6ax
g''a(x) = [mm] -6ax^{2}+6a
[/mm]
g'''a(x) = -12ax
Wie schon gesagt wurde, musst du das globale Minimum bei -9 liegt, also:
g'a(x) = 0
[mm] -2ax^{3} [/mm] +6ax = 0
2ax [mm] (-x^{2}+3) [/mm] = 0 |/2ax
[mm] -x^{2}+3 [/mm] = 0 |-3 |*(-1) [mm] |\wurzel
[/mm]
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \pm \wurzel{3} [/mm]
--> für beide ist g''a(x) positiv
-->an beiden stellen globales Minimum (muss ja, weil nur gerade Exponenten--> Achsensymmetrisch zur YAchse)
so, da du ja das a suchst, für welche das globale Minimum bei -9 liegt, musst du die stellen vom globalen Minimum in die Ausgangsfunktion einsetzen(bei beiden kommt ja logischerweise das gleiche raus, also reicht es mit einer Stelle zu arbeiten):
ga = [mm] -\bruch{1}{2}a(\wurzel{3})^{4} [/mm] + [mm] 3a(\wurzel{3})^{2}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2}a*9+3a*3
[/mm]
= -4,5a+9a
= 4,5a
also ga = 4,5a als Funktionswert soll -9 rauskommen, also ga = -9 =4,5a -->
a=-2
Nun zu den Tangenten:
Wenn du Tangenten in den Wendepunkten(WP) suchst, solltest du natürlich die WP kennen 
also:
g''a(x) = 0
0 = [mm] -6ax^{2}+6a
[/mm]
0 = [mm] 6a(-x^{2}+1) [/mm] |/6a |-1 |*(-1)
[mm] x^{2} [/mm] = [mm] \pm1 [/mm] --> in g'''a(x) einsetzen --> [mm] \not= [/mm] 0 --> Wendestellen
[mm] \pm1 [/mm] in ga'(x) einsetzen --> Anstieg der Geraden (m(sa) =-4a) ; m(ta) = 4a
für rechtwinklige geraden gilt: [mm] m_{1} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{m_{2}}
[/mm]
Also in deisem Fall:
-4a = - [mm] \bruch{1}{4a} [/mm] |*4a |*(-1)
[mm] 16a^{2} [/mm] = 1
[mm] a^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{16}
[/mm]
a = [mm] \pm \bruch{1}{4}
[/mm]
Ok, hoffe mal das klappt alles mit der Formeldarstellung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:05 Mi 17.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo dth100!
> [mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]\pm \wurzel{3}[/mm]
> --> für beide ist g''a(x) positiv
Das gilt aber nur mit der Bedingung: [mm] $\red{a \ < \ 0}$ [/mm] !!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Do 18.05.2006 | | Autor: | dth100 |
Sorry, hatte da etwas übersehen. Also, an den Stellen x= [mm] \pm\wurzel{3} [/mm] muss ja ein Minimum sein, damit die Bedingung mit y GRÖßER Gleich -9 erfüllt wird, du hast also
[mm] g''a(\pm\wurzel{3}) [/mm] = -18a + 6a
=-6a --> a muss kleiner als 0 sein, damit g''a größer als 0 ist (dank an Loddar)
hab nicht drauf geachtet, hatte erst das Ergebnis und hab den Rest mit Überprüfung und so hinterher gemacht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:31 Do 18.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo dth100!
Der Wert der 2. Ableitung [mm] $g_a''\left(\pm\wurzel{3} \ \right)$ [/mm] beträgt aber natürlich [mm] $-\red{12}a$ [/mm] ...  .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 Do 18.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo dth!
> Aber hab Mitleid mit mir Loddar, ich war beim Bund, da rostet
> sowas wie Genauigkeit extrem ein
Da war ich auch ... und das im gesetzten Alter von 26 Jahren ... von daher kann ich diese Ausrede nicht akzeptieren!
Gruß
Loddar
(HptGefr a.D.)
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Freies Kopf- und Bruchrechnen mit negativen Vorzeichen am frühen Morgen ... ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
... Du hast Recht.
