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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Problem mit einfacher DGL
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Problem mit einfacher DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:27 Do 31.01.2013
Autor: helicopter

Aufgabe
Berechne für [mm] x_0 [/mm] , [mm] y_0 \in\IR [/mm] eine Lösung des folgenden Anfangwertproblems auf einer kleinen Umgebung um [mm] x_o [/mm]
[mm] y'=\cos{x}\exp{y} [/mm] mit  [mm] y(x_{0})=y_0 [/mm]

Bestimme im Fall [mm] y_0 [/mm] das maximale Existenzintervall dieser Lösung in Abhängigkeit von [mm] x_o [/mm] explizit.

Hallo, ich habe versucht die DGL mit Separation der Variablen zu lösen, aber es kommt irgendwie nur Unfug raus, kann mir jemand sagen wo mein Fehler liegt?

Meine Rechenschritte sind:
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \cos{x}\exp{y} \Rightarrow \exp^{-y}dy [/mm] = [mm] \cos{x}dx [/mm]
[mm] \int_{y_{0}}^{y}{e^{-\eta} d\eta} [/mm] = [mm] \int_{x_{0}}^{x}{\cos{\tau} d\tau} [/mm]
[mm] -\exp^{-\eta} \right|_{y_0}^{y} [/mm] = [mm] \sin{\tau} \right|_{x_0}^{x} [/mm]
[mm] -\exp^{-y}+\exp^{-y_0} [/mm] = [mm] \sin{x}-\sin{x_0} [/mm]
[mm] \exp^{-y}=-\sin{x}+C, [/mm] wobei [mm] C:=\sin{x_0}+\exp^{-y_0} [/mm]
-y = [mm] ln(-\sin{x}+C) [/mm]
y = [mm] -ln(-\sin{x}+C) [/mm]


Die Lösung ist aber falsch, wenn ich zum nachprüfen ableite kommt nur mist raus.
Könnte mir bitte jemand helfen?

Gruß helicopter

        
Bezug
Problem mit einfacher DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:37 Do 31.01.2013
Autor: fred97


> Berechne für [mm]x_0[/mm] , [mm]y_0 \in\IR[/mm] eine Lösung des folgenden
> Anfangwertproblems auf einer kleinen Umgebung um [mm]x_o[/mm]
>  [mm]y'=\cos{x}\exp{y}[/mm] mit  [mm]y(x_{0})=y_0[/mm]
>  
> Bestimme im Fall [mm]y_0[/mm] das maximale Existenzintervall dieser
> Lösung in Abhängigkeit von [mm]x_o[/mm] explizit.
>  Hallo, ich habe versucht die DGL mit Separation der
> Variablen zu lösen, aber es kommt irgendwie nur Unfug
> raus, kann mir jemand sagen wo mein Fehler liegt?
>  
> Meine Rechenschritte sind:
>  [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\cos{x}\exp{y} \Rightarrow \exp^{-y}dy[/mm] =
> [mm]\cos{x}dx[/mm]
>  [mm]\int_{y_{0}}^{y}{e^{-\eta} d\eta}[/mm] =
> [mm]\int_{x_{0}}^{x}{\cos{\tau} d\tau}[/mm]
>  [mm]-\exp^{-\eta} \right|_{y_0}^{y}[/mm]
> = [mm]\sin{\tau} \right|_{x_0}^{x}[/mm]
>  [mm]-\exp^{-y}+\exp^{-y_0}[/mm] =
> [mm]\sin{x}-\sin{x_0}[/mm]
>  [mm]\exp^{-y}=-\sin{x}+C,[/mm] wobei [mm]C:=\sin{x_0}+\exp^{-y_0}[/mm]
>  -y = [mm]ln(-\sin{x}+C)[/mm]
>  y = [mm]-ln(-\sin{x}+C)[/mm]
>  
>
> Die Lösung ist aber falsch,


Das ist sie nicht !!!

> wenn ich zum nachprüfen
> ableite kommt nur mist raus.

zeig mal wie Du prüfst.

FRED

>  Könnte mir bitte jemand helfen?
>  
> Gruß helicopter


Bezug
                
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Problem mit einfacher DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:43 Do 31.01.2013
Autor: helicopter

Hallo,
ich hab die Funktion einfach abgeleitet und kriege dann:
[mm] \bruch{d}{dx}(-ln(-\sin{x}+C)) [/mm] = [mm] -1(\bruch{1}{-\sin{x}+c}*-\cos{x}) [/mm] = [mm] \bruch{\cos{x}}{-sin{x}+C} [/mm]

Edit: Habe auch gerade versucht das -1 erst in den ln reinzuziehen, aber dann wird die Ableitung zu einem sehr unschönen Ausdruck.

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Problem mit einfacher DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:00 Do 31.01.2013
Autor: fred97


> Hallo,
>  ich hab die Funktion einfach abgeleitet und kriege dann:
>  [mm]\bruch{d}{dx}(-ln(-\sin{x}+C))[/mm] =
> [mm]-1(\bruch{1}{-\sin{x}+c}*-\cos{x})[/mm] =
> [mm]\bruch{\cos{x}}{-sin{x}+C}[/mm]

Ist doch prima. Und was ist [mm] \cos{x}\exp{y} [/mm] ?

FRED

>  
> Edit: Habe auch gerade versucht das -1 erst in den ln
> reinzuziehen, aber dann wird die Ableitung zu einem sehr
> unschönen Ausdruck.


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Problem mit einfacher DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:11 Do 31.01.2013
Autor: helicopter

Hallo,

für [mm] \cos{x}\exp{y} [/mm] kenne ich leider keine Identitäten...

Aber ich nehme an das wird der Ausdruck sein (Wie kommt man darauf? Über Reihendarstellung oder Euler?)

Was bedeutet eigentlich in der Aufgabenstellung auf einer kleinen Umgebung von [mm] x_0 [/mm] ?
Muss ich diese angeben?

Für das Existenzintervall der Lösung [mm] y_0 [/mm] = 0 muss ich ja nur x finden für die -sin(x)+C = 1 wird richtig?

Gruß helicopter

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Problem mit einfacher DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:13 Do 31.01.2013
Autor: fred97

Ist y = $ [mm] -ln(-\sin{x}+C) [/mm] $, was ist dann

    [mm] e^y [/mm] ?

FRED

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Problem mit einfacher DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:18 Do 31.01.2013
Autor: helicopter

[mm] \exp^{-(-\sin{x}+c)} [/mm] = [mm] \exp^{sin{x}-c} [/mm] ?

Bezug
                                                        
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Problem mit einfacher DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:20 Do 31.01.2013
Autor: fred97


> [mm]\exp^{-(-\sin{x}+c)}[/mm] = [mm]\exp^{sin{x}-c}[/mm] ?

Es ist doch y = $ [mm] -ln(-\sin{x}+C) [/mm] $

den ln hast Du verschlampt

FRED


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Problem mit einfacher DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:25 Do 31.01.2013
Autor: helicopter

Äh, dann hätten wir [mm] \exp^{-ln(-\sin{x}+c)} [/mm] = [mm] \exp^{ln\bruch{1}{-\sin{x}+c}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{-\sin{x}+c} [/mm]

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Problem mit einfacher DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:28 Do 31.01.2013
Autor: fred97


> Äh, dann hätten wir [mm]\exp^{-ln(-\sin{x}+c)}[/mm] =
> [mm]\exp^{ln\bruch{1}{-\sin{x}+c}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{-\sin{x}+c}[/mm]  

Bingo !

Jetzt multipliziere das mit cos(x) und vergleiche mit y'

FRED


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Problem mit einfacher DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:32 Do 31.01.2013
Autor: helicopter

Kommt hin, Danke :)
Aber mich verwirrt immernoch die Aufgabenstellung wegen der kleinen Umgebung von [mm] x_0 [/mm] , ohne Grund schreibt der Aufgabensteller ja nichts hin. Muss ich diese Umgebung angeben oder etwas dazu sagen oder ist der erste Teil der Aufgabe erledigt?

EDIT: Und das Existenzintervall macht mir auch Probleme, wie geht man denn da vor?
Es muss ja [mm] y(x_{0}) [/mm] = 0 sein, also 0 = [mm] -ln(-\sin{x}+sin{x_{0}}+e^0) \right|_{x=x_0} [/mm]
[mm] \Rightarrow -\sin{x_{0}}+sin{x_{0}}+1 [/mm] = 1
Das ist doch für beliebiges [mm] x_0 [/mm] erfüllt?

EDIT2: Ok, das Argument vom ln muss >0 sein, also muss [mm] -\sin{x}+\sin{x_0}+1 [/mm] > 0 sein,
[mm] \sin{x_0 }+ [/mm] 1 > [mm] \sin{x} [/mm]
[mm] \arcsin{(\sin{x_0}+1)} [/mm] > x

Aber wie soll ich das noch expliziter bestimmen?
Gruß helicopter

Bezug
                                                                                        
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Problem mit einfacher DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:58 Do 31.01.2013
Autor: helicopter

Oh mann, das wird immer lustiger...
Also es müsste gelten x < [mm] \arcsin{(\sin{x_0}+1)} [/mm]
Da der arcsin nur von [-1,1] definiert ist darf mein [mm] \sin{x_0} [/mm] nicht größer als 0 sein,
also ist [mm] x_{0}\in[\pi,2\pi] [/mm] dann würde der [mm] \arcsin [/mm] die werte aus [mm] [0,\bruch{\pi}{2}] [/mm] annehmen.

Macht das bis jetzt Sinn?

Bezug
                                                                                                
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Problem mit einfacher DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:02 Do 31.01.2013
Autor: leduart

Hallo
Nein , sieh lieber die Beziehung [mm] sinx also musst du nur noch fuer die anderen [mm] x_0 [/mm] uberlegen
gruss leduart


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