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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 So 06.12.2009 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Der Graph der Funktion f berührt die x-Achse im Punkt P(2/0).
a)Zeigen Sie, dass dann auch der Graph der Funktiong mit g(x)=x*f(x) die x-Achse im Punkt P berührt.
b)Wenn P ein Hochpunkt des Graphen von f''(2)<0, ist dann P auch ein Hochpunkt des Graphen von g?
c) Was wändert sich in a) bzw. b), wenn der Berührpunkt P die Koordinaten P(-2/0) hat? |
Hallo Leute,
ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht - oder so ähnlich.
Wenn ich an a) herangehe, würde ich schlichtweg sagen:
f(2)=0, also ist g(2)=2*0 und somit berührt g auch den Punkt P(2/0) - aber so einfach gedacht, kann es nun echt nicht sein...
Hat jemand ne Idee??
An b) traue ich mich erst garnicht heran...
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Hallo,
nehme an dass f eine lineare Funktion ist. Da wir ja nur eine Nullstelle vorgegeben haben. Zb f=(x-2). dann ist [mm] g=x^2-2x=x(x-2) [/mm] mit den nullstellen 0 und 2. Natürlich klappt es auch wenn [mm] f=(x-2)^{2} [/mm] dann ist [mm] g=(x-2)^{2}*x [/mm] A4ch hier gibt es nst x=0 und x=2.
Deine Idee war also nicht schlecht ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Zur b) schreibe doch wie bei a) erstmal die Bedingungen auf.
f''(2)=?
f(2)=?
Nur Mut
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 So 06.12.2009 | | Autor: | silfide |
Ich nehme an (aufgrund der Skizze - welche du nicht siehst - auf der linken Seite neben der Aufgabenstellung), dass es sich um eine Funktion 2. Grades handelt, welche einen Berührpunkt bei P(2/0) hat und die y-Achse bei 2 schneidet.
Scheitelpunkt: S(2|0)
eine Nullstelle: x = 2 ->P1(2/0)
P2(1/0,5) -> durch Ablesen
f(x) = 0,5x² - 2x + 2
= 0,5(x - 2)²
A) g(x)=x*(0,5x²-2x+2)
`=0,5x³-2x²+2x
g(2)=0
B) Wenn P ein Hochpunkt des Graphen von f''(2)<0, ist dann P auch ein Hochpunkt des Graphen von g?
f’(x)=1x-2
f’’(x)=1
f’’(2)=1
g‘(x)=3/2x²-4x+2
g‘‘(x)=3x-4
g‘‘(2)=4
In diesem Falle wäre es jetzt ein Tiefpunkt, allerdings denke ich dass es sich ähnlich verhalten würde, wenn es ein Hochpunkt wäre ...
Weiterer Vorschlag von deiner Seite??
C) Auch hier denke ich nicht, dass sich etwas ändert, nur weil es eine andere Koordinate ist ... nur mit: Das ist so ein Gefühl,lässt sich schwer argumentieren ...
Mia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:28 So 06.12.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Also mal ganz in Ruhe nochmal:
> Aufgabe
> Der Graph der Funktion f berührt die x-Achse im Punkt P(2/0).
> a)Zeigen Sie, dass dann auch der Graph der Funktiong mit g(x)=x*f(x) die
> x-Achse im Punkt P berührt.
Was berühren (hier die x-Achse) heisst, hatten wir ja schon, nämlich hier: g(2)=0 (Schneiden) und g'(2)=0 (Berühren, da die x-Achse die Steigung 0 hat).
Jetzt bilde mal g'(x)
Du weisst, dass
[mm] g(x)=\underbrace{x}_{u}\underbrace{f(x)}_{v}, [/mm] also [mm] g'(x)=\underbrace{x}_{u}\underbrace{f'(x)}_{v'}+\underbrace{1}_{u'}\underbrace{f(x)}_{v}
[/mm]
Und jetzt bestimme mal g'(2) mit den Infos, die du gegeben hast.
Aus Der Graph der Funktion f berührt die x-Achse im Punkt P(2/0). weisst du, dass f(2)=0 und f'(2)=0
> b)Wenn P ein Hochpunkt des Graphen von f''(2)<0, ist dann P auch ein
> Hochpunkt des Graphen von g?
Die Folgerung, dass f''(2) dann negativ ist, ist korrekt, überprüfe nun, ob g'(2) auch negativ ist.
> c) Was wändert sich in a) bzw. b), wenn der Berührpunkt P die Koordinaten > P(-2/0) hat?
Beachte, dass dann ein - in der x-Koordinate dazukommt, das unter Umständen einige Vorzeichen dreht, welche, das versuche mal selber herauszufinden.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 So 06.12.2009 | | Autor: | silfide |
Hallo Marius,
auch in der Variante komme ich auf g'(2)=0.
siehe hier: g‘(2)=2*(1*2-2)+1*(0,5*2²-2*2+2)
=0+0
Bei C) verändert sich dann ja, die gesamte Funktion und wird bei mir zu:
f(x) = 0,5x² + 2x + 2
= 0,5(x + 2)²
Womit wieder rauskommt g(-2)=0 und g'(-2)=0
g(-2)=x(0,5x² + 2x + 2)=0,5x³+2x²+2x=0,5*-2³+2*-2²+2*-2=0
g‘(-2)=-2*(-2+2)+0,5*-2²+2*-2+2=0
Zu B) Was meinst du??
Danke für deine Hilfe.
Mia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 So 06.12.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hattest du die Funktion denn konkret gegeben. Ansonsten geht das auch allgemein
Du hast ja:
g'(x)=x*f'(x)+f(x)
Und du weisst, f(2)=0 und f'(2)=0, also g'(2)=2*0+0=0
Ausserdem gilt: g(2)=2*f(2)=2*0=0
Also....
Und zu b:
Du sollst zeigen, dass g''(2)<0
Dazu mal:
g'(x)=x*f'(x)+f(x)
also g''(x)=x*f''(x)+f'(x)+f'(x)
Also:
[mm] g''(2)=2*\underbrace{f''(x)}_{<0}+\underbrace{f'(2)}_{=0}+\underbrace{f'(2)}_{=0}
[/mm]
Ist das nun <0? Dann hast du den geforderten Hochpunkt.
Für Teil c) rechne diese Aufgabe nochmal mit dem Berührpunkt (-2;0) durch, und du wirst sehen, dass sich einige Vorzeichen ändern, was besonders in Teil b) Auswirkungen hat.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 Di 08.12.2009 | | Autor: | silfide |
Danke Marius,
einen Tag später habe ich es sogar verstanden.
In Aufgabe c) bleibt a) gleich und b) verwandelt sich der Hochpunkt in einen Tiefpunkt da f''(-2)<0 ist und -2 mit einer negativen Zahl positiv wird. *tolle Fachsprache, ich weiß*
Na ja, Hauptsache es hat klick! gemacht.
Mia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 So 06.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ergänzung zur a)
Wenn f an der Stelle 2 die x-Achse berührt, so muss f'(2)=0 gelten.
Daher musst du auch noch schauen, ob g'(2)=0 ist.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:52 So 06.12.2009 | | Autor: | silfide |
Habe es ausprobiert g'(2)=0, aber warum muss ich es ausprobieren??
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 So 06.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Weil da steht, dass die x-Achse bei 2 berührt wird. Und das ist ein besonderer Schnitt, bei dem auch die Anstiege der 2 schneidenden Objekte gleich sind.
z.B. schneidet f(x)=x die x-Achse in [mm] x_0=0, [/mm] aber [mm] g(x)=x^2 [/mm] berührt die x-Achse in [mm] x_0=0.
[/mm]
Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 So 06.12.2009 | | Autor: | abakus |
> Der Graph der Funktion f berührt die x-Achse im Punkt
> P(2/0).
> a)Zeigen Sie, dass dann auch der Graph der Funktiong mit
> g(x)=x*f(x) die x-Achse im Punkt P berührt.
> b)Wenn P ein Hochpunkt des Graphen von f''(2)<0, ist dann
> P auch ein Hochpunkt des Graphen von g?
> c) Was wändert sich in a) bzw. b), wenn der Berührpunkt
> P die Koordinaten P(-2/0) hat?
> Hallo Leute,
>
> ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht - oder so
> ähnlich.
>
> Wenn ich an a) herangehe, würde ich schlichtweg sagen:
>
> f(2)=0, also ist g(2)=2*0 und somit berührt g auch den
> Punkt P(2/0) - aber so einfach gedacht, kann es nun echt
> nicht sein...
>
> Hat jemand ne Idee??
Hallo,
nur berühren, aber nicht schneiden; das bedeutet, dass f(x) an der Stelle -2 den Funktionswert 0 hat und unmittelbar links bzw. recht daneben auf beiden Seiten positive (oder auf beiden Seiten negative) Funktionswerte hat.
Da der Faktor x an der Stelle -2 (und auch noch ein Stück links und rechts davon) einen negativen Wert besitzt, hat g(x) links und rechts von der Nullstelle (jedenfalls in unmittelbarer Umgebung) wieder ein gemeinsames Vorzeichen).
Gruß Abakus
Die
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> An b) traue ich mich erst garnicht heran...
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