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Forum "Schul-Analysis" - Produkt-/Kettenregel
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Produkt-/Kettenregel: Ableitungen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:12 Do 23.06.2005
Autor: Lottah

Schönen guten Tag,

Ich könnte echt Hilfe bei den Ableitungsregeln gebrauchen da ich morgen eine Klausur schreiben muss.

1.) Produktregel
    
     f(x)=x [mm] \* [/mm] sin(x)
    f'(x)=1 [mm] \* [/mm] sin(x) + x [mm] \* [/mm] cos(x)

bei den nächsten hab ich leider echt keine ahnung...muss man da   vielleicht die regel auf beide produkte einzeln nochmal anwenden ?

2.) Kettenregel

    [mm] f(x)=x(x+3)^1/2 [/mm]

Wie wende ich hier die Regel an ? ich glaube die erste ableitung lautet hier
f'(x)=1/2x(x+3)^-1/2  [mm] \* [/mm] 1

Aber nun die zweite, f"(x)=-1/4x(x+3)^-3/2
bin mir da total unsicher wegen der klammer


vielen dank im vorraus für eure hilfe!


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
    
        
Bezug
Produkt-/Kettenregel: Antwortversuch (edit.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:40 Do 23.06.2005
Autor: Mehmet

Hallo Lottah,

Also die Ableitungsregeln:
a) Produktregel:
                            f(x)=u(x)v(x)
                        
                            f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

Was heißt das nun?Also besteht deine Funktion aus einem Produkt von zweier  elementarfunktionen, so ist nach dieser regel abzuleiten.
ie ich sehe hastdu diese auch korrekt angewandt.

b) Kettenregel:

                   f(x)=v(u(x))

                   f'(x)=v'(u(x))u'(x)

Also: Die äußere Ableitung mal die innere Ableitung.

Nun zu deiner Funktion:

          [mm] f(x)=\bruch{x(x+3)}{2}= \bruch{1}{2}x(x+3)=\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{3}{2}x [/mm]

So wie du siehst habe ich sie umgeformt und nun kannst du doch ganz einfach mit der Potenzregel ableiten.
Bei so kleinen Termen ist es sinnvoll auszumultiplizieren.

Hier sind Beispiele dafür bei denen man die Regeln nicht umgehen kann:

[mm] f(x)=e^{x}x [/mm]         (Potenzregel) MBProduktregel

[mm] f(x)=sin(x^{2}+a)e^{x+a} [/mm] (ketten und Potenzregel)(tricky)
MBKettenregel + MBProduktregel

[mm] f(x)=ke^{ax+b}+sin(x+c) [/mm]     (Kettenregel)

Edit: Ableitungsregeln ergänzt + korrigiert. Loddar


versuchs mal.

Gruß Mehmet
Bezug
                
Bezug
Produkt-/Kettenregel: Tippfehler
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:03 Do 23.06.2005
Autor: Mehmet

Danke Loddar,für die ergänzungen [anbet]
ich meinte natürlich die Produktregel, ich glaube es wird zeit dass ich mich etwas hinlege.
Gruß Mehmet
Bezug
                
Bezug
Produkt-/Kettenregel: Anmerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:10 Do 23.06.2005
Autor: Einstein

Hallo Lottah, hallo Mehmet,

ich glaube, daß bei der Funktion von Lottah nicht "mal" [mm] $\bruch{1}{2}$, [/mm] sondern "hoch" [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] gemeint war:

$ [mm] f(x)=x(x+3)^{\bruch{1}{2}}$ [/mm]


Gruß Jürgen
Bezug
                        
Bezug
Produkt-/Kettenregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:26 Do 23.06.2005
Autor: Mehmet

Hi EInstein,
naja da war ich mir auch nicht so sicher,vielleicht könnte er sich ja melden.
aber ich dachte die 1 wäre hoch die klammer also: [mm] \bruch{x(x+3)^{1}}{2} [/mm]
gruß mehmet
Bezug
        
Bezug
Produkt-/Kettenregel: zur Aufgabe 2
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 Do 23.06.2005
Autor: Loddar

Hallo Lottah,

[willkommenmr] !!


> 2.) Kettenregel
>  
> [mm]f(x)=x(x+3)^1/2[/mm]

Meinst Du hier etwa die Funktion [mm]f(x) \ = \ x*(x+3)^{\bruch{1}{2}}[/mm]  ??

Dann mußt Du natürlich auch mit der MBProduktregel in Verbindung mit der MBPotenzregel arbeiten ...

[mm]f(x) \ = \ \underbrace{x}_{=u}*\underbrace{(x+3)^{\bruch{1}{2}}}_{=v}[/mm]


Machen wir das mal schrittweise:

$u \ := \ x$   [mm] $\Rightarrow$ [/mm]   $u' \ = \ 1$

$v \ := \ [mm] (x+3)^{\bruch{1}{2}}$ $\Rightarrow$ [/mm]   $v' \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*(x+3)^{\bruch{1}{2}-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*(x+3)^{-\bruch{1}{2}}$ [/mm]
MBPotenzregel angewandt


Damit wird insgesamt:

$f'(x) \ = \ [mm] \underbrace{1}_{=\ u'} [/mm] * [mm] \underbrace{(x+3)^{\bruch{1}{2}}}_{= \ v} [/mm] \ + \ [mm] \underbrace{x}_{= \ u} [/mm] * [mm] \underbrace{\bruch{1}{2}*(x+3)^{-\bruch{1}{2}}}_{= \ v'}$ [/mm]

$f'(x) \ = \ [mm] 1*(x+3)^{\bruch{1}{2}} [/mm] \ + \ [mm] x*\bruch{1}{2}*(x+3)^{-\bruch{1}{2}}$ [/mm]

$f'(x) \ = \ [mm] 1*(x+3)^{\bruch{1}{2}} [/mm] \ + \ [mm] x*\bruch{1}{2}*\bruch{1}{(x+3)^{\bruch{1}{2}}}$ [/mm]


Nun erweitern wir den ersten Bruch mit [mm] $2*(x+3)^{\bruch{1}{2}}$ [/mm] ...

$f'(x) \ = \ [mm] \bruch{2*\left[(x+3)^{\bruch{1}{2}}\right]^2}{2*(x+3)^{\bruch{1}{2}}} [/mm] \ + \ [mm] \bruch{x}{2*(x+3)^{\bruch{1}{2}}}$ [/mm]

$f'(x) \ = \ [mm] \bruch{2*(x+3) + x}{2*(x+3)^{\bruch{1}{2}}}$ [/mm]

$f'(x) \ = \ [mm] \bruch{2x+6 + x}{2*(x+3)^{\bruch{1}{2}}}$ [/mm]

$f'(x) \ = \ [mm] \bruch{3x+6}{2*(x+3)^{\bruch{1}{2}}}$ [/mm]


Für die 2. Ableitung $f''(x)$ mußt Du nun auch noch mit der MBQuotientenregel arbeiten!


Hast Du das bis hierher verstanden?

Willst Du das dann mal mit $f''(x)$ versuchen ?


Gruß
Loddar

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