Produkt 2er Summen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Sa 31.10.2009 | | Autor: | St4ud3 |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Für ale n [mm] \in \IN_{0} [/mm] und [mm] x_{1},...,x_{n} \in \IR_{+} [/mm] gilt:
[mm] (\summe_{k=1}^{n} x_{k}) [/mm] * [mm] (\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}x_{k}) \ge n^{2}
[/mm]
Hinweis: Führen sie vollständige Induktion durch und benutzen sie [mm] |\bruch{a}{b} [/mm] + [mm] \bruch{b}{a}| \ge [/mm] 2 |
Nachdem ich schon Probleme hatte die erste Aussage zu beweisen wird das bei der hier überhaupt nicht besser.
Für n=1 und n=2 ist das ganze einfach zu beweisen, aber ab da wird die Ungleichung sehr komplex, so dass ich gar nicht weiß, wie ich das Problem mit n Unbekannten angehe, bzw einfach die Induktion anfange.
Wäre toll, wenn mir dafür auch noch jemand Tipps gibt.
Grüße
St4ud3
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Sa 31.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo St4ud3!
Da fehlt doch noch was in der 2. Summe, oder?!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 Sa 31.10.2009 | | Autor: | St4ud3 |
Hast natürlich recht. Habs verbessert :)
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Hallo St4ud3,
> Zeigen Sie:
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> Für ale n [mm]\in \IN_{0}[/mm] und [mm]x_{1},...,x_{n} \in \IR_{+}[/mm]
> gilt:
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> [mm](\summe_{k=1}^{n} x_{k})[/mm] * [mm](\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}x_{k}) \ge n^{2}[/mm]
>
> Hinweis: Führen sie vollständige Induktion durch und
> benutzen sie [mm]|\bruch{a}{b}[/mm] + [mm]\bruch{b}{a}| \ge[/mm] 2
> Nachdem ich schon Probleme hatte die erste Aussage zu
> beweisen wird das bei der hier überhaupt nicht besser.
>
> Für n=1 und n=2 ist das ganze einfach zu beweisen, aber ab
> da wird die Ungleichung sehr komplex, so dass ich gar nicht
> weiß, wie ich das Problem mit n Unbekannten angehe, bzw
> einfach die Induktion anfange.
>
> Wäre toll, wenn mir dafür auch noch jemand Tipps gibt.
Im Induktionsschritt [mm] $n\to [/mm] n+1$ gib dir ein beliebiges, aber festes [mm] $n\in\IN$ [/mm] vor und nimm die Gültigkeit der Induktionsvoraussetzung an, dh.
gelte [mm] $\blue{\left(\sum\limits_{k=1}^{n}x_k\right) \ \cdot{} \ \left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k}\right) \ > \ n^2}$
[/mm]
Nun ist im eigentlichen Induktionsschritt zu zeigen, dass unter dieser Voraussetzung gefälligst auch gilt:
[mm] $\left(\sum\limits_{k=1}^{n+1}x_k\right) [/mm] \ [mm] \cdot{} [/mm] \ [mm] \left(\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{x_k}\right) [/mm] \ > \ [mm] (n+1)^2$
[/mm]
Dazu nehmen wir uns die linke Seite der Ungleichung her und formen sie so um, dass wir die Induktionsvoraussetzung benutzen können:
Also [mm] $\left(\sum\limits_{k=1}^{n+1}x_k\right) [/mm] \ [mm] \cdot{} [/mm] \ [mm] \left(\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{x_k}\right)=\left[\left(\sum\limits_{k=1}^{n}x_k\right) \ + \ x_{n+1}\right] [/mm] \ [mm] \cdot{} [/mm] \ [mm] \left[\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k}\right) \ + \ \frac{1}{x_{n+1}}\right]$
[/mm]
Das nun distributiv ausmultiplizieren:
[mm] $=\blue{\left(\sum\limits_{k=1}^{n}x_k\right)\cdot{}\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k}\right)}+1 [/mm] \ + \ [mm] x_{n+1}\cdot{}\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k}\right) [/mm] \ + \ [mm] \frac{1}{x_{n+1}}\cdot{}\left(\sum\limits_{k=1}^{n}x_k\right)$
[/mm]
Auf das blaue Produkt kannst du nun die Induktionsvoraussetzung anwenden:
$> \ [mm] \blue{n^2}+1 [/mm] \ + \ \ [mm] x_{n+1}\cdot{}\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k}\right) [/mm] \ + \ [mm] \frac{1}{x_{n+1}}\cdot{}\left(\sum\limits_{k=1}^{n}x_k\right)$
[/mm]
Jetzt bleibt nur zu zeigen, dass die hinteren beiden Summen zusammen [mm] $\ge [/mm] 2n$ sind.
Dazu schreibe dir die beiden Summen mal mit ein paar Gliedern und ... aus, sortiere mit Hinblick auf den Tippp in der Aufgabenstellung etwas um und es ist vollbracht!
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> Grüße
> St4ud3
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
LG
schachuzipus
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