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Forum "Folgen und Reihen" - Produkt absolut konvergent ?
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Produkt absolut konvergent ?: Bitte um Kontrolle
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:09 Mi 09.12.2015
Autor: pc_doctor

Aufgabe
Es sei( [mm] \summe_{k=1}^{n} a_k )_{n \in \IN} [/mm] eine absolut konvergente Reihe und [mm] (c_k)_{k \in \IN} [/mm] eine konvergente Folge reeller Zahlen. Zeigen Sie, dass die Reihe ( [mm] \summe_{k=1}^{n} a_k c_k )_{n \in \IN} [/mm] absolut konvergiert.

Hallo, mein Ansatz:

weil [mm] c_k [/mm] konvergiert , ist [mm] c_k [/mm] beschränkt.

also: [mm] \exists [/mm] M > 0 mit [mm] |c_k| \le [/mm] M für jedes k

Dann ist [mm] |a_k [/mm] * [mm] c_k [/mm] | [mm] \le [/mm] M [mm] |a_k| [/mm]

Die Reihe [mm] \summe_{}^{} M|a_k| [/mm] ist aber konvergent.

Nach dem Majorantenkriterium ist doch dann auch [mm] |a_k [/mm] * [mm] c_k| [/mm] konvergent.

Ich bitte um Kontrolle/Ergänzung.



        
Bezug
Produkt absolut konvergent ?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:22 Mi 09.12.2015
Autor: schachuzipus

Hallo Doc,

> Es sei( [mm]\summe_{k=1}^{n} a_k )_{n \in \IN}[/mm] eine absolut
> konvergente Reihe und [mm](c_k)_{k \in \IN}[/mm] eine konvergente
> Folge reeller Zahlen. Zeigen Sie, dass die Reihe (
> [mm]\summe_{k=1}^{n} a_k c_k )_{n \in \IN}[/mm] absolut
> konvergiert.
> Hallo, mein Ansatz:

>

> weil [mm]c_k[/mm] konvergiert , ist [mm]c_k[/mm] beschränkt. [ok]

>

> also: [mm]\exists[/mm] M > 0 mit [mm]|c_k| \le[/mm] M für jedes k

>

> Dann ist [mm]|a_k[/mm] * [mm]c_k[/mm] | [mm]\le[/mm] M [mm]|a_k|[/mm] [ok]

>

> Die Reihe [mm]\summe_{}^{} M|a_k|[/mm] ist aber konvergent. [ok]

>

> Nach dem Majorantenkriterium ist doch dann auch [mm]|a_k[/mm] * [mm]c_k|[/mm]
> konvergent.

Du meinst die Reihe [mm]\sum\limits_{k\ge 0} |a_kc_k|[/mm]

>

> Ich bitte um Kontrolle/Ergänzung.

Schaut gut aus!

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Produkt absolut konvergent ?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:32 Mi 09.12.2015
Autor: pc_doctor

Alles klar, vielen lieben Dank.

Bezug
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