Produkt aus e-Fkt. und Potenz < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Fr 09.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
| Aufgabe | Lösen Sie:
[mm] $\integral 5x^2*e^{\frac{x^3}{3}} [/mm] dx$ |
Die Lösung soll angeblich [mm] $5*e^{\frac{x^3}{3}}$
[/mm]
Mir ist klar, dass eine Stammfunktion von [mm] $5x^2 [/mm] = [mm] \frac{5x^3}{3}$ [/mm] ist, aber dann müsste ja eine Stammfunktion von [mm] $e^{\frac{x^3}{3}} [/mm] = [mm] \frac{3}{x^3}*e^{\frac{x^3}{3}}^$ [/mm] sein und das kann doch nicht stimmen oder?
Es gilt zwar [mm] $\integral e^{kx}dx [/mm] = [mm] \frac{1}{k}*e^{kx}$ [/mm] aber dabei würde doch das [mm] $x^3$ [/mm] nicht mit vor die Exponentialfunktion rutschen.
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> Lösen Sie:
>
> [mm]\integral 5x^2*e^{\frac{x^3}{3}} dx[/mm]
Hallo,
Du bist also auf der Suche nach einer Funktion F,
deren Ableitung lautet F'(x)= [mm] 5x^2*e^{\frac{x^3}{3}}.
[/mm]
>
> Die Lösung soll angeblich [mm]5*e^{\frac{x^3}{3}}[/mm]
Na, dann schauen wir doch mal nach:
[mm] F(x)=5*e^{\frac{x^3}{3}},
[/mm]
und nun leiten wir ab, Dazu benötigen wir die Kettenregel ("Innere*äußere Ableitung"),
denn in die e-Funktion (äußere Funktion) wurde die Funktion [mm] \frac{x^3}{3} [/mm] (als innere Funktion) eingesetzt.
[mm] F'(x)=5*\underbrace{x^2}_{innere \quad Ableitung }*\underbrace{e^{\frac{x^3}{3}}}_{aussere \quad Abl.}.
[/mm]
>
> Mir ist klar, dass eine Stammfunktion von [mm]5x^2 = \frac{5x^3}{3}[/mm]
> ist, aber dann müsste ja eine Stammfunktion von
> [mm]e^{\frac{x^3}{3}} = \frac{3}{x^3}*e^{\frac{x^3}{3}}^[/mm] sein
> und das kann doch nicht stimmen oder?
Bei Produkten von Funktionen kann man nicht jeden Faktor einzeln integrieren.
Man bildet ja auch nicht die Ableitung von Produkten, indem man jeden Faktor einzeln ableitet.
Wenn man bei der vorliegenden Aufgabe nicht sofort erkennt, was rauskommt, kann man eine Substitution machen:
mit
[mm] z=\bruch{x^3}{3} [/mm]
bekommt man
[mm] dz=x^2*dx,
[/mm]
und hat
[mm]\integral 5x^2*e^{\frac{x^3}{3}} dx[/mm]=[mm]\integral 5e^zdz [/mm][mm] =5e^z=5e^{\frac{x^3}{3}}.
[/mm]
LG Angela
>
> Es gilt zwar [mm]\integral e^{kx}dx = \frac{1}{k}*e^{kx}[/mm] aber
> dabei würde doch das [mm]x^3[/mm] nicht mit vor die
> Exponentialfunktion rutschen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Fr 09.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Okay danke!
Ich hatte es mit der selben Substitution versucht, bin aber gescheitert.
Kann ich statt [mm] $dz=x^2*dx$ [/mm] auch nach $dx$ auflösen und entsprechend $dx$ in dem Integral durch [mm] $\frac{dz}{x^2}$ [/mm] ersetzen? Sollte doch das selbe sein, oder?
Dann wird es ja auch auf den ersten Blick ersichtlich, dass [mm] $5*\integral x^2 [/mm] * [mm] e^z \frac{dz}{x^2}$ [/mm] sich entsprechend wegkürzt und am Ende nur eine Stammfunktion für [mm] $e^z$ [/mm] gefunden werden muss, die ja bekanntlich ebenfalls [mm] $e^z$ [/mm] ist.
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Hallo Morph,
> Kann ich statt [mm]dz=x^2*dx[/mm] auch nach [mm]dx[/mm] auflösen und
> entsprechend [mm]dx[/mm] in dem Integral durch [mm]\frac{dz}{x^2}[/mm]
> ersetzen? Sollte doch das selbe sein, oder?
Das funktioniert oft nicht, aber natürlich darfst Du das versuchen.
> Dann wird es ja auch auf den ersten Blick ersichtlich,
> dass [mm]5*\integral x^2 * e^z \frac{dz}{x^2}[/mm] sich entsprechend
> wegkürzt und am Ende nur eine Stammfunktion für [mm]e^z[/mm]
> gefunden werden muss, die ja bekanntlich ebenfalls [mm]e^z[/mm] ist.
Eben. Hier klappt das prima.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Fr 09.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Aber wenn ich das ganze nach $dz$ aufgelöst stehen lasse und einsetze, dann mache ich doch im Prinzip nichts anderes oder?
Ich "ersetze" dann doch [mm] $x^2 [/mm] dx$ nur durch das $dz$ oder?
Das "ersetzen" ist doch dann nichts anderes als ein Dividieren des nicht-substituierten Integral durch [mm] $x^2 [/mm] dx$ oder?
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Hallo nochmal,
> Aber wenn ich das ganze nach [mm]dz[/mm] aufgelöst stehen lasse und
> einsetze, dann mache ich doch im Prinzip nichts anderes
> oder?
> Ich "ersetze" dann doch [mm]x^2 dx[/mm] nur durch das [mm]dz[/mm] oder?
> Das "ersetzen" ist doch dann nichts anderes als ein
> Dividieren des nicht-substituierten Integral durch [mm]x^2 dx[/mm]
> oder?
Ich verstehe die Frage nicht. Habe ich das nicht gerade positiv beantwortet?
Grüße
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Sa 10.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Ja, aber du sagtest doch, dass mein Weg in einigen Fällen nicht funktioniert. Daher wollte ich noch einmal sicher gehen, dass ich deinen Weg richtig interpretiert habe.
Habe ich das?
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Ach so.
Hallo nochmal,
> Ja, aber du sagtest doch, dass mein Weg in einigen Fällen
> nicht funktioniert. Daher wollte ich noch einmal sicher
> gehen, dass ich deinen Weg richtig interpretiert habe.
> Habe ich das?
Ja, das hast Du.
Grüße
rev
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Mo 12.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Morph007!
> Lösen Sie:
>
> [mm]\integral 5x^2*e^{\frac{x^3}{3}} dx[/mm]
>
> Die Lösung soll angeblich [mm]5*e^{\frac{x^3}{3}}[/mm]
Das hat sich nun über den ganzen Thread geschleppt. Richtig:
[mm] \integral 5x^2*e^{\frac{x^3}{3}} \mathrm{d}x=5*e^{\frac{x^3}{3}}+C.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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