Produkt bei minimalen MSTs < Graphentheorie < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweise oder widerlege die folgende Behauptung:
Sei G=(V,E) ein Graph mit Kantengewichten [mm] c:E\to\IR. [/mm] Seien T und T' zwei minimale Spannbäume für G. Dann gilt [mm] \produkt_{e\in E(T)}c(e)=\produkt_{e\in E(T')}c(e). [/mm] |
Hallo zusammen!
Nach mehrmaligem Probieren, ein Gegenbeispiel zu finden, bin ich zu dem Schluss gekommen, dass die Aussage stimmt und möchte sie wie folgt beweisen:
Beweis:
Da T und T' minimale Spannbäume sein sollen, muss das Gesamtgewicht (heißt das so?) von T gleich dem von T' sein. Das wäre also die Summe aller Kanten, die in T bzw. T' vorkommen. Damit das Produkt derselben Kanten unterschiedlich ist, müssen die beiden Spannbäume mindestens zwei unterschiedliche Kanten mit unterschiedlichen Gewichten enthalten - also T und T' können viele Kanten gemeinsam haben, müssen nur mindestens jeweils zwei haben, die der anderen MST nicht hat (bei nur einer unterschiedlichen Kante würde sich die Summe ändern). Betrachten wir nur zwei "unterschiedliche Kanten" und bezeichnen diese einfach mit ihrem Gewicht und sagen: x und y sind die Kantengewichte der Kanten in T; x',y' die in T' und x und x' haben einen Knoten gemeinsam, sowie y und y' einen gemeinsam haben, dann muss gelten: x+y=x'+y'.
Da die Summe ja gleich sein soll, muss also einer der folgenden Fälle gelten:
i) x<x' und y>y'
ii) x>x' und y<y'
iii) x<y' und x'>y
iv) x>y' und x'<y
(Gleichheit von z. B. x und y ist ausgeschlossen, da wir ja annehmen wollen, dass das Produkt unterschiedlich wird)
Betrachten wir o.B.d.A. Fall i):
Behauptung: Es gibt einen Spannbaum kleineren Gewichtes als T und T'.
Beweis: Nimm alle Kanten, die T und T' gemeinsam haben und dazu die Kanten x und y'. Dieses ist ein Spannbaum, da sowohl die Kante von x als auch die von x' den vorletzen der beiden "übrig gebliebenen" Knoten an den Baum anschließen, und die Kante von y und die von y' den letzten Knoten. Also haben wir einen Spannbaum. Dieser hat kleineres Gewicht als T und T', da wir die jeweils größere Kante von T bzw. T' entfernt haben und dafür eine kleinere eingefügt haben.
Also haben wir einen Spannbaum kleineren Gewichtes - Widerspruch dazu, dass T und T' minimale Spannbäume waren.
Oje - beim Schreiben ist mir aufgefallen, dass ich das doch nicht so schön aufschreiben kann, wie ich dachte. Versteht jemand, was ich sagen möchte? Im Prinzip ist das doch richtig, oder? Falls jemand einen allgemeinen Verbesserungsvorschlag hat, kann er mir den bitte mitteilen. Ansonsten vielleicht sagen, was ich hier evtl. weglassen kann (sind die Fälle i) bis iv) nötig oder reicht es, wenn ich einfach direkt Fall i) annehme?) oder wo etwas unklar ist.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 Di 19.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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