Produkt der Nullstellen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Jana85 |
Hallo liebe Forumuser,
ich hoffe ihr könnt mir bei der Aufgabe helfen ich verzweifle noch...
K ein Körper der char 0 f [mm] \in [/mm] K[X] ein irred. Polynom
N Zerfällungskörper von f und [mm] a_{1}...a_{n} [/mm] Nullstellen von f in N. Es sei
[mm] \xi [/mm] := [mm] \produkt_{i
a) Zeigen Sie, dass [mm] \xi^{2} \in [/mm] K
b) Ist G [mm] \le A_{n}, [/mm] so gilt [mm] \xi \in [/mm] K.
Also ich habe nun ausgerechnet:
[mm] \xi^{2} [/mm] = [mm] \produkt_{i
= [mm] (-1)^{\bruch{n(n-1)}{2}}\produkt_{k=1}^{n}f'(a_{k})
[/mm]
Soweit habe ich es nun umgeformt, aber leider weiß ich überhaupt nicht ob mir das überhaupt was bringt, ich habe dann näml. gemerkt, dass ja immer noch die Nullstellen da sind und ich sie nicht wegbekomme...
Welche begründung brauche ich damit ich zeigen kann dass dies [mm] \in [/mm] K? bzw. zur b??
LG
JAna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Mo 04.02.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Jana
> ich hoffe ihr könnt mir bei der Aufgabe helfen ich
> verzweifle noch...
>
>
> K ein Körper der char 0 f [mm]\in[/mm] K[X] ein irred. Polynom
> N Zerfällungskörper von f und [mm]a_{1}...a_{n}[/mm] Nullstellen
> von f in N. Es sei
>
> [mm]\xi[/mm] := [mm]\produkt_{i
>
> a) Zeigen Sie, dass [mm]\xi^{2} \in[/mm] K
>
> b) Ist G [mm]\le A_{n},[/mm] so gilt [mm]\xi \in[/mm] K.
Das $G$ soll die Galoisgruppe von $N$ ueber $K$ sein, oder?
> Also ich habe nun ausgerechnet:
>
> [mm]\xi^{2}[/mm] = [mm]\produkt_{i
> [mm](-1)^{\bruch{n(n-1)}{2}}\produkt_{i\not=j}(a_{i}-a_{j})[/mm]
> = [mm](-1)^{\bruch{n(n-1)}{2}}\produkt_{k=1}^{n}f'(a_{k})[/mm]
So weit so gut.
> Soweit habe ich es nun umgeformt, aber leider weiß ich
> überhaupt nicht ob mir das überhaupt was bringt, ich habe
> dann näml. gemerkt, dass ja immer noch die Nullstellen da
> sind und ich sie nicht wegbekomme...
>
> Welche begründung brauche ich damit ich zeigen kann dass
> dies [mm]\in[/mm] K? bzw. zur b??
Dazu brauchst du die Galois-Gruppe! Ein Element $t [mm] \in [/mm] N$ ist naemlich genau dann in $K$, wenn [mm] $\sigma(t) [/mm] = t$ fuer alle [mm] $\sigma \in [/mm] G$ gilt. Jetzt nimm doch mal ein [mm] $\sigma \in [/mm] G$ und wende es auf [mm] $\xi^2$ [/mm] an.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Di 05.02.2008 | | Autor: | Jana85 |
> Hallo Jana
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> Dazu brauchst du die Galois-Gruppe! Ein Element [mm]t \in N[/mm] ist
> naemlich genau dann in [mm]K[/mm], wenn [mm]\sigma(t) = t[/mm] fuer alle
> [mm]\sigma \in G[/mm] gilt. Jetzt nimm doch mal ein [mm]\sigma \in G[/mm] und
> wende es auf [mm]\xi^2[/mm] an.
>
> LG Felix
>
Hallo Felix, vielen Dank für deinen BEitrag 
Leider weiß ich nicht wie ich mir ein solches Element aus der Galoisgruppe nehmen sollte... denn f ist ja nicht bekannt, K ist nicht bekannt es ist doch gar nichts bekannt...also kann ich ja auch nicht die Galoisgruppe bestimmen
Wie soll das funktionieren? Ich weiß nicht wie ich das machen soll...
LG
Jana
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Di 05.02.2008 | | Autor: | statler |
Hallo Jana!
> Leider weiß ich nicht wie ich mir ein solches Element aus
> der Galoisgruppe nehmen sollte... denn f ist ja nicht
> bekannt, K ist nicht bekannt es ist doch gar nichts
> bekannt...also kann ich ja auch nicht die Galoisgruppe
> bestimmen
Nun, so ein f aus der Galois-Gruppe permutiert die Nullstellen. In dem Sinne ist G eine Untergruppe einer Permutationsgruppe. Und folglich ist f ein Produkt von Transpositionen. Jetzt laß mal ein f, was i und j vertauscht (genauer die zugehörigen Nullstellen) und den Rest festläßt, auf deine beiden Terme los und guck, was passiert. Vielleicht kannst du aus diesen Infos eine Lösung zusammenbauen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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