Produkt reeller Polynome < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Zerlege [mm] x^{8}+x^{4}+1 [/mm] so weit wie möglich in ein Produkt reeler Polynome. |
Eigentlich würde ich gerne Partialbruchzerlegung machen. Geht aber wohl nicht. Deshalb habe ich mal angefangen und [mm] x^{4}=z [/mm] substituiert.
z²+z+1
-> z{1}=-0,5+j0,866
z{2}=-0,5-j0,866
dann wollte ich rücksubstituieren...
[mm] x_{1...4}=[-0,5+0,866]^{4}
[/mm]
mit Hilfe von [mm] (a+b)^{4}=a^{4}+4a³b+6a²b²+4ab³+b^{4}
[/mm]
kam ich auf [mm] \wurzel{-\bruch{3}{4}}-0,5
[/mm]
aber das ist ja genau meiné Ausgangssituation. Hätte ich mir das bis dahin sparen können, oder ist das zufall?
Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Mi 16.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Zerlege [mm]x^{8}+x^{4}+1[/mm] so weit wie möglich in ein Produkt
> reeler Polynome.
> Eigentlich würde ich gerne Partialbruchzerlegung machen.
> Geht aber wohl nicht. Deshalb habe ich mal angefangen und
> [mm]x^{4}=z[/mm] substituiert.
> z²+z+1
> -> z{1}=-0,5+j0,866
> z{2}=-0,5-j0,866
Damit weisst du dass das polynom durch (z-z1)*(z-z2) teilbar ist. das ist ein reelles Polynom, also ausrechnen und dadurch dividieren.
dass du keinen linearen Teil abspalten kannst ist klar, weil das reelle Pol. sicher keine Nullstellen hat.
der Rest ist sicher sinnlos, nur noch die Wurzeln aus den Lösungen sind interessant. ob du noch ein zweites quadratisches Polynom abspalten kannst, wenn du noch zwei konjugiert komplexe Lösungen hast.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Es tut mir sehr leid, aber wie geht es weiter? Ich weiß es einfach nicht, habe viel gelesen, aber nichts gefunden was ich hier anwenden könnte.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Sa 19.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hatte doch gesagt, du sollst durch (z-z1)*(z-z2) dividieren. hast du das gemacht?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Wenn ich dich richtig verstanden habe soll ich [mm] \bruch{z²+z+1}{(z-z_{1})(z-z_{2})} [/mm] ausrechnen.
Ich habe mal aufgelöst. [mm] \bruch{z²+z+1}{z²-z(z_{1}+z_{2})+z_{1}*z_{2}} [/mm] und dann? wieter geht es bei mir nicht
|
|
|
| |
|
Hallo lotusblüte,
dein Ausgangspolynom [mm] $x^8+x^4+1$ [/mm] hat 8 komplexe Nullstellen [mm] $x_1,x_2,...x_8$
[/mm]
Das sind 4 Paare komplex konjuguerter Zahlen, also [mm] $x_1,\overline{x}_1$ [/mm] und [mm] $x_2,\overline{x}_2$ [/mm] und [mm] $x_3,\overline{x}_3$ [/mm] und [mm] $x_4,\overline{x}_4$
[/mm]
Die rechne zuerst einmal alle aus
Nun ist [mm] $(x-x_i)(x-\overline{x}_i)$ [/mm] jeweils ein reelles Poynom 2ten Grades.
Das rechne konkret aus und dividiere dein Ausgangspolynom dadurch
Ich mache das mal für ein Paar Nullstellen:
Es sind u.a. [mm] $x_1=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$ [/mm] und [mm] $\overline{x}_1=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$ [/mm] ein Paar komplexer konjuguerter NST deines Ausgangspolynoms
Dann ist [mm] $(x-x_1)(x-\overline{x}_1)=\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=x^2+\sqrt{3}x+1$
[/mm]
ein reelles Polynom 2ten Grades
Dann berechne [mm] $(x^8-x^4+1):(x^2+\sqrt{3}x+1)=x^6-\sqrt{3}x^5+2x^4-\sqrt{3}x^3+2x^2-\sqrt{3}x+1=:q(x)$
[/mm]
Nun rechne jeweils für die anderen 3 Paare komplex konjugierter Nullstellen das entsprechende reelle Polynom 2ten Grades aus und spalte es sukzessive ab - zuerst vom "neuen" Poylnom $q(x)$, dann bekommst du ein Polynom $r(x)$ 4ten Grades usw.
Schlussendlich hast du eine Zerlegung deines Ausgangspolynoms als Produkt 4 reeller Polynome 2ten Grades
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Wenn ich dich richtig verstanden habe soll ich [mm] \bruch{z²+z+1}{(z-z_{1})(z-z_{2})} [/mm] ausrechnen.
Ich habe mal aufgelöst. [mm] \bruch{z²+z+1}{z²-z(z_{1}+z_{2})+z_{1}*z_{2}} [/mm] und dann? weiter geht es bei mir nicht
|
|
|
|
