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| Aufgabe | Sei eine quadratische nxn Matrix M gegeben, wobei det(M) ungleich Null ist.
Zu zeigen ist: Es existiert eine reguläre Matrix R sowie eine Diagonalmatrix D = diag(1, ..., det(M)) sodass M=RD. |
Meine Idee:
(1) R ist regulär, d.h. es gibt eine Matrix [mm] $R^{-1}$ [/mm] sodass [mm] $R^{-1}\cdot [/mm] R = I$.
(2) Aus der besonderen Form von D ergibt sich, dass es eine Inverse von D gibt, sodass [mm] $D^{-1} [/mm] = diag(1, ..., 1/det(M))$.
(3) Betrachtet man nun $R := [mm] MD^{-1}$ [/mm] (diesen Hinweis habe ich im Internet aufgestöbert!)
Ich weiß nicht, ob das sehr hilfreich ist, aber da ich sonst keine Idee habe, probiere ich auch hier mein Glück:
Es muss nun gezeigt werden, dass auch [mm] $MD^{-1}$ [/mm] regulär ist.
Dies ist genau dann der Fall, wenn es eine Matrix [mm] $(MD^{-1})^{-1}$ [/mm] gibt, sodass [mm] $MD^{-1} \cdot (MD^{-1})^{-1} [/mm] = I$.
Wegen [mm] $(MD^{-1})^{-1} [/mm] = D [mm] \cdot M^{-1}$ [/mm] muss es also eine INverse zu M geben. Und die gibt es, da det(M) ungleich 0 ist.
Damit ist $ S = [mm] AD^{-1} [/mm] <=> SD = [mm] AD^{-1}D [/mm] = A $ .
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:46 Mi 12.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei eine quadratische nxn Matrix M gegeben, wobei det(M)
> ungleich Null ist.
> Zu zeigen ist: Es existiert eine reguläre Matrix R sowie
> eine Diagonalmatrix D = diag(1, ..., det(M)) sodass M=RD.
Was soll das denn ???? Ist z.B. det(M)=-0,987123, so ist völlig unklar, wie D aussehen soll ? Was bedeutet ",...," genau ?
> Meine Idee:
>
> (1) R ist regulär, d.h. es gibt eine Matrix [mm]R^{-1}[/mm] sodass
> [mm]R^{-1}\cdot R = I[/mm].
>
> (2) Aus der besonderen Form von D ergibt sich, dass es eine
> Inverse von D gibt, sodass [mm]D^{-1} = diag(1, ..., 1/det(M))[/mm].
>
> (3) Betrachtet man nun [mm]R := MD^{-1}[/mm] (diesen Hinweis habe
> ich im Internet aufgestöbert!)
>
> Ich weiß nicht, ob das sehr hilfreich ist, aber da ich
> sonst keine Idee habe, probiere ich auch hier mein Glück:
>
> Es muss nun gezeigt werden, dass auch [mm]MD^{-1}[/mm] regulär
> ist.
> Dies ist genau dann der Fall, wenn es eine Matrix
> [mm](MD^{-1})^{-1}[/mm] gibt, sodass [mm]MD^{-1} \cdot (MD^{-1})^{-1} = I[/mm].
>
> Wegen [mm](MD^{-1})^{-1} = D \cdot M^{-1}[/mm] muss es also eine
> INverse zu M geben. Und die gibt es, da det(M) ungleich 0
> ist.
>
> Damit ist [mm]S = AD^{-1} <=> SD = AD^{-1}D = A[/mm] .
>
>
>
Es ist $0 [mm] \ne [/mm] det(M)=det(RD)=det(R)*det(D)$.
Damit sind R und D regulär und es ist [mm] R=MD^{-1}
[/mm]
FRED
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> Was soll das denn ???? Ist z.B. det(M)=-0,987123, so ist
> völlig unklar, wie D aussehen soll ? Was bedeutet ",...,"
> genau ?
Hallo Fred:
Ich habe mich leider vertippt, denn es heißt:
D = diag(1,...,1,det(M)). Damit ist dann klar, wie die Diagonalelemente aussehen.
> Es ist [mm]0 \ne det(M)=det(RD)=det(R)*det(D)[/mm].
>
> Damit sind R und D regulär und es ist [mm]R=MD^{-1}[/mm]
>
> FRED
Wie schließe ich aus $R = [mm] MD^{-1}$ [/mm] dass:
(a) Es gibt eine Diagonalmatrix D mit D = diag(1,...,1,det(M)) ?
Dass eine reguläre Matrix R existiert ist ja schon gezeigt.
K.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:16 Mi 12.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Was soll das denn ???? Ist z.B. det(M)=-0,987123, so ist
> > völlig unklar, wie D aussehen soll ? Was bedeutet ",...,"
> > genau ?
>
> Hallo Fred:
> Ich habe mich leider vertippt, denn es heißt:
> D = diag(1,...,1,det(M)). Damit ist dann klar, wie die
> Diagonalelemente aussehen.
>
> > Es ist [mm]0 \ne det(M)=det(RD)=det(R)*det(D)[/mm].
> >
> > Damit sind R und D regulär und es ist [mm]R=MD^{-1}[/mm]
> >
> > FRED
>
> Wie schließe ich aus [mm]R = MD^{-1}[/mm] dass:
> (a) Es gibt eine Diagonalmatrix D mit D =
> diag(1,...,1,det(M)) ?
>
> Dass eine reguläre Matrix R existiert ist ja schon
> gezeigt.
>
> K.
Du definierst(!) $D:=diag(1,...,1,det(M))$ und Du definierst(!) [mm]R := MD^{-1}[/mm].
Weil M und D (und damit auch [mm] D^{-1}) [/mm] regulär sind, ist R regulär.
Aus [mm]R = MD^{-1}[/mm] folgt sofort:
$M=RD$.
Und wie von Zauberhand(!) hast Du die EXistenz von R und D mit den gewünschten Eigenschaften gezeigt !
FRED
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