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| Aufgabe | | Zeigen sie die Stetigkeit des Produktes stetiger Funktionen. |
Hallo ihr. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Ich soll die Stetigkeit des Produktes stetiger Funktionen in metrischen Räumen zeigen. Leider habe ich gerade so gar keinen Plan mehr wie ich das für die reelen Zahlen gezeigt habe*shame*
Ich denke mal, dass ich es mit dem epsilon,delta kriterium für stetigkeit machen würde...aber irgendwie fehlt mir gerade der ansatz wie ich die voraussetzung geschickt anwende....kann mir jemand helfen?
Ich wäre darüber sehr dankbar..
Liebe sonnige Grüße
Sandra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Sandra!
> Zeigen sie die Stetigkeit des Produktes stetiger
> Funktionen.
> Hallo ihr. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
>
> Ich soll die Stetigkeit des Produktes stetiger Funktionen
> in metrischen Räumen zeigen. Leider habe ich gerade so gar
> keinen Plan mehr wie ich das für die reelen Zahlen gezeigt
> habe*shame*
>
> Ich denke mal, dass ich es mit dem epsilon,delta kriterium
> für stetigkeit machen würde...aber irgendwie fehlt mir
> gerade der ansatz wie ich die voraussetzung geschickt
> anwende....kann mir jemand helfen?
> Ich wäre darüber sehr dankbar..
Also, erstmal: Du hast stetige Abbildungen $f, g : X [mm] \to [/mm] Y$ wobei $X$ und $Y$ metrische Raeume sind. Damit du nun $f [mm] \cdot [/mm] g : X [mm] \to [/mm] Y$, $x [mm] \mapsto [/mm] f(x) g(x)$ definieren kannst muss $Y$ zusaetzliche Struktur haben, und insb. muss die Metrik auf $Y$ mit der Multiplikation vertraeglich sein.
Sagen wir mal, du willst die Stetigkeit im Punkt $a$ nachweisen.
Schreibe $d(f(x) g(x), f(a) g(a)) [mm] \le [/mm] d(f(x) g(x), f(a) g(x)) + d(f(a) g(x), f(a) g(a))$. Fuer $x$ nahe bei $a$ ist jetzt $g(x)$ in der Naehe von $g(a)$ (wegen der Stetigkeit von $g(a)$, und $f(a)$ ist eh fest. Also kannst du das durch [mm] $C_1 \cdot [/mm] d(f(x), f(a)) + [mm] C_2 \cdot [/mm] d(g(x), g(a))$ abschaetzen (fuer $x$ nahe bei $a$) mit Konstanten [mm] $C_1, C_2 [/mm] > 0$ (damit es diese Konstanten gibt brauchst du die Vertraeglichkeit der Multiplikation auf $Y$ mit der Metrik!).
(Das `nahe bei' ist immer im Sinne von $d(x, a) < [mm] \delta$ [/mm] zu verstehen fuer irgendein [mm] $\delta [/mm] > 0$.)
Kommst du damit weiter? Wenn nicht, denk dran dabeizuschreiben was du ueber $Y$ so weisst...
LG Felix
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Hey Danke erstmal für die Antwort. Ich verstehe nicht ganz was du da abgeschätzt hast..Kann man das so ähnlich wie bei den reelen Zahlen zeigen??
Demnach müsste man nur geschickt "eine Null" in den Term "d(f(x)g(x),f(a)g(a)) und dann dreiecksungleichung anwenden..
Mhm...kann mir da jemand noch einen Tip geben?
Mfg Sandra
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Sandra!
> Hey Danke erstmal für die Antwort. Ich verstehe nicht ganz
> was du da abgeschätzt hast..Kann man das so ähnlich wie
> bei den reelen Zahlen zeigen??
>
> Demnach müsste man nur geschickt "eine Null" in den Term
> "d(f(x)g(x),f(a)g(a)) und dann dreiecksungleichung
> anwenden..
Die Abschaetzung die ich da gemacht hab ist genau das. Bei Metriken kannst du nicht einfach Punkte zusammenaddieren, du kannst nur Abstand messen. Und wenn du zwei Punkte $a, b$ hast und irgendeinen dritten Punkt $c$, dann gilt immer $d(a, b) [mm] \le [/mm] d(a, c) + d(c, b)$. (Das ist eins der Metrik-Axiome.)
Und genau das hab ich da gemacht; schau mal genau hin.
Es waer uebrigens nett wenn du bei der naechsten Frage oder Mitteilung zum Thema dazuschreiben wuerdest, was $Y$ denn nun ist bzw. was die Multiplikation dort mit der Metrik zu tun hat.
LG Felix
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