Produkt von Spiegelungen < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Fr 31.08.2007 | | Autor: | NixZuTun |
| Aufgabe | Es sei $A := [mm] \bruch{1}{3} \pmat{ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & 2 } \in [/mm] O(3)$
und [mm] $\varphi [/mm] = [mm] \varphi_A [/mm] : [mm] \IR^3 \rightarrow \IR^3,~x \mapsto [/mm] Ax$ die zugehörige lineare Abbildung. Stellen Sie $A$ als Produkt einer minimalen Anzahl von Matrizen [mm] $A_i \in [/mm] O(3)$ dar, so dass die zu den [mm] $A_i$ [/mm] gehörigen linearen Abbildungen [mm] $\varphi_{A_i}$ [/mm] Spiegelungen sind. |
Hallo,
bei der Vorbereitung auf meine Vordiploms-Klausur in Lineare Algebra, stieß ich auf diese Aufgabe.
Als erstes habe ich die Determinante der Matrix berechnet:
[mm] $\det{A} [/mm] = [mm] \bruch{1}{27} \cdot [/mm] (2 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 2 + (-1) [mm] \cdot [/mm] (-1) [mm] \cdot [/mm] (-1) + 2 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 2 - (-1) [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 2 - (-1) [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 2 - (-1) [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 2) = [mm] \bruch{1}{27} \cdot [/mm] 27 = 1$
Es ist ja klar, dass das Produkt im [mm] $\IR^3$ [/mm] aus maximal 3 Spiegelungen bestehen kann. Da eine Spiegelungsmatrix immer die Determinante $-1$ besitzt und [mm] $\det(AB) [/mm] = [mm] \det{A} \cdot \det{B}$ [/mm] gilt, kommt nur ein Produkt aus 2 Matrizen in Frage, da [mm] $(-1)^1 [/mm] = [mm] (-1)^3 [/mm] = -1$.
Jetzt dachte ich mir, ich könnte über die Beziehungen:
[mm] $A_1 \cdot A_2 [/mm] = A$
[mm] ${A_1}^T \cdot A_1 [/mm] = [mm] 1_3$
[/mm]
[mm] ${A_2}^T \cdot A_2 [/mm] = [mm] 1_3$
[/mm]
ein Gleichungsystem aufstellen und darüber die Koeffizienten berechnen. Allerdings muss ich dann noch einbringen, dass [mm] $\det{A_1} [/mm] = [mm] \det{A_2} [/mm] = -1$ gelten muss und der Weg erscheint mir (falls er überhaupt funktioniert) unheimlich aufwändig! Leider wurde aber das Thema in meinem Skript nicht behandelt und eine Musterlösung zu dieser Aufgabe besitze ich nicht.
Ich würde mich freuen, wenn mir dort jemand gedanklich auf die Sprünge helfen würde!
Schönen Gruß, Andreas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei [mm]A := \bruch{1}{3} \pmat{ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & 2 } \in O(3)[/mm]
>
> und [mm]\varphi = \varphi_A : \IR^3 \rightarrow \IR^3,~x \mapsto Ax[/mm]
> die zugehörige lineare Abbildung. Stellen Sie [mm]A[/mm] als Produkt
> einer minimalen Anzahl von Matrizen [mm]A_i \in O(3)[/mm] dar, so
> dass die zu den [mm]A_i[/mm] gehörigen linearen Abbildungen
> [mm]\varphi_{A_i}[/mm] Spiegelungen sind.
> Als erstes habe ich die Determinante der Matrix berechnet:
>
> [mm]\det{A} = \bruch{1}{27} \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) + 2 \cdot 2 \cdot 2 - (-1) \cdot 2 \cdot 2 - (-1) \cdot 2 \cdot 2 - (-1) \cdot 2 \cdot 2) = \bruch{1}{27} \cdot 27 = 1[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ist Dir eigentlich klar, was für eine Abbildung durch A beschrieben wird?
A ist eine orthogonale Matrix mit der Determinante 1.
Also hast Du eine Drehung vorliegen.
Es ist klar, daß Du sie durch 2 Spiegelungen ersetzen kannst - das hast Du ja auch schon selber herausgefunden.
Fragt sich nur, wo Du die passenden Speigelachsen findest, und in welchem Winkel sie sich schneiden müssen.
Um dies herauszufinden, solltest Du Drehachse und Drehwinkel Deiner Abbildung bestimmen.
Damit bist Du dann ein gehöriges Stück weiter.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Fr 31.08.2007 | | Autor: | NixZuTun |
Vielen Dank schon einmal dafür!
Das es sich bei der Matrix um eine Drehung handelt, war auch meine geometrische Überlegung. Da aber sowas in der Vorlesung nicht behandelt wurde, sondern nur in dieser einen Übung, die ich offenbar verpasst habe, konnte ich das nicht direkt aus der Determinante schließen.
Ich habe mich jetzt über die Wikipedia ein wenig näher darüber informiert, und da hieß es die Drehachse sei der Eigenraum zum Eigenwert $1$, was ja geometrisch auch Sinn macht. Allerdings bekomme ich als Lösung des Gleichungssystems $A [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] = [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}$ [/mm] nur den Nullvektor heraus. Demnach wäre aber $1$ ja gar kein Eigenwert und ich habe keine Drehachse.
Meine Frage ist jetzt, kann das sein oder habe ich mich nur verrechnet und finde den Fehler nicht?
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> Ich habe mich jetzt über die Wikipedia ein wenig näher
> darüber informiert, und da hieß es die Drehachse sei der
> Eigenraum zum Eigenwert [mm]1[/mm], was ja geometrisch auch Sinn
> macht.
Hallo,
wenn Dir dieser Sachverhalt wirklich klar ist, hast Du schon viel begriffen von Eigenwerten und Eigenvektoren.
Beim Rechnen wirst Du Dich schlichtweg verrechnet haben.
Falls es beim erneuten Versuch nicht klappt, kannst Du Deine Rechnung hier einstellen, damit man sehen kann, woran es ggf. liegt.
Gruß v. Angela
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