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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:55 Do 26.01.2012 | | Autor: | Lentio |
| Aufgabe | Für die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung
[mm] 4\bruch{\partial u}{\partial t}=\bruch{\partial^2 u}{\partial x^2} [/mm]
x [mm] \in [/mm] [0,2], t [mm] \ge0 [/mm] mit den Randbedingungen
u(0,t)=u(2,t)=0, t [mm] \ge [/mm] 0bekommt man mit dem Produktansatz
die Entwicklung
[mm] u(x,t)=\summe_{i=1}^{n}B_{n}e^{(-(\bruch{\pi*n}{4})^{2}t)}sin(\bruch{\pi*n}{2}x)
[/mm]
mit freien Koeffizienten [mm] B_{n}. [/mm]
Berechnen Sie die eindeutig bestimmte Lösung u(x,t), für die die
Anfangsbedingung u(x,0)=(2-x)sin [mm] \bruch{\pi}{2}x [/mm] gilt. |
Hallo,
ich tu mich ein wenig schwer mit dieser Aufgabe und hoffe auf Unterstützung :)
Soll sein u(x,0) = f(x), x [mm] \in [/mm] [0,l] und erfüllt [mm] f(x)=(2-x)sin(\bruch{\pi }{2}x) [/mm] sowie
f(0)=f(2)=0.
Dann ergibt sich [mm] f(x)=u(x,0)=\summe_{i=1}^{n}B_{n}*sin(\bruch{\pi*n}{l}x).
[/mm]
Sei nun eine Funktion h(x) ungerade und für ganz R geklärt und es gilt
[mm] h(x)=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x \in [0,l] \\ -f(-x), & \mbox{für } x \in [-l,0], h(x+2l)=h(x) \end{cases}
[/mm]
Jetzt kann der Koeffizient [mm] B_{n} [/mm] durch den Fourieransatz berechnet werden:
[mm] \Rightarrow \bruch{h(x-0)+h(x+0)}{2}=\summe_{i=1}^{n}B_{n}*sin(\bruch{\pi*n}{l}x)], [/mm] n [mm] \in [/mm] N.
Der Koeffizient ergibt sich zu //
[mm] B_{n}=\bruch{1}{l}\integral_{0}^{2l}{h(x) sin(\bruch{\pi*n}{l}x)dx}
[/mm]
[mm] \gdw B_{n}= \bruch{2}{l}\integral_{0}^{l}{f(x) sin(\bruch{\pi*n}{l}x)dx}?? [/mm] Da bin ich mir leider nicht so sicher.
und jetzt für l=2
[mm] B_{n}= \integral_{0}^{2}{f(x) sin(\bruch{\pi*n}{2}x)dx}
[/mm]
und damit
[mm] u(x,t)=\summe_{i=1}^{n}\integral_{0}^{2}{f(x) sin(\bruch{\pi*n}{2}x)dx}e^{(-(\bruch{\pi*n}{4})^{2}t)}sin(\bruch{\pi*n}{2}x)
[/mm]
.
Durch f(x)=u(x,0)=(2-x)sin [mm] \bruch{\pi}{2}x [/mm] erhält man dann
[mm] u(x,t)=\summe_{i=1}^{n}[\integral_{0}^{2}{(2-x)sin (\bruch{\pi}{2}x) sin(\bruch{\pi*n}{2}x)dx}]e^{(-(\bruch{\pi*n}{4})^{2}t)}sin(\bruch{\pi*n}{2}x).
[/mm]
WIe kann ich denn jetzt noch weiter [mm] B_{n}=\integral_{0}^{2}{(2-x)sin (\bruch{\pi}{2}x) sin(\bruch{\pi*n}{2}x)dx} [/mm] vereinfachen?
mfg, Lentio
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 28.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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