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| Aufgabe | i) Sei [mm] f(x,y,z)=xy^{2}z^{3}. [/mm] Stellen Sie das lineare Taylorpolynom [mm] T_{2}f [/mm] von f im Punkt (1, 2, 3) auf. Berechnen Sie nun mit Hilfe von [mm] T_{2}f [/mm] den Ausdruck 1.002 · [mm] 2.003^{2} [/mm] · [mm] 3.004^{3} [/mm] näherungsweise.
ii) Stellen Sie das kubische Taylorpolynom von f(x, [mm] y)=exp(x^{2}y) [/mm] in (0,0) auf. Hinweis: Verwenden Sie die Reihendarstellung von exp(z). |
Moin , moin,
bräuchte eine Korrektur zu der aufgabe i) und habe eine Frage zu ii). ich habe folgendes gemacht:
[mm] f(x,y,z)=xy^{2}z^{3} [/mm]
[mm] f_{x}(x,y,z)=y^{2}z^{3}
[/mm]
[mm] f_{xx}(x,y,z)=0
[/mm]
[mm] f_{y}(x,y,z)=x2yz^{3}
[/mm]
[mm] f_{yy}(x,y,z)=x2z^{3}
[/mm]
[mm] f_{z}(x,y,z)=xy^{2}3z^{2}
[/mm]
[mm] f_{zz}(x,y,z)=xy^{2}6z
[/mm]
richtig soweit?
ii) ich bräuchte die reihendarstellung von exp(z) und was ist eigentlich exp ?
Danke^^
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Hallo,
> i) Sei [mm]f(x,y,z)=xy^{2}z^{3}.[/mm] Stellen Sie das lineare
> Taylorpolynom [mm]T_{2}f[/mm] von f im Punkt (1, 2, 3) auf.
> Berechnen Sie nun mit Hilfe von [mm]T_{2}f[/mm] den Ausdruck 1.002
> · [mm]2.003^{2}[/mm] · [mm]3.004^{3}[/mm] näherungsweise.
>
> ii) Stellen Sie das kubische Taylorpolynom von f(x,
> [mm]y)=exp(x^{2}y)[/mm] in (0,0) auf. Hinweis: Verwenden Sie die
> Reihendarstellung von exp(z).
> Moin , moin,
>
> bräuchte eine Korrektur zu der aufgabe i) und habe eine
> Frage zu ii). ich habe folgendes gemacht:
>
> [mm]f(x,y,z)=xy^{2}z^{3}[/mm]
>
> [mm]f_{x}(x,y,z)=y^{2}z^{3}[/mm]
> [mm]f_{xx}(x,y,z)=0[/mm]
>
> [mm]f_{y}(x,y,z)=x2yz^{3}[/mm]
> [mm]f_{yy}(x,y,z)=x2z^{3}[/mm]
>
> [mm]f_{z}(x,y,z)=xy^{2}3z^{2}[/mm]
> [mm]f_{zz}(x,y,z)=xy^{2}6z[/mm]
>
> richtig soweit?
Ja. Für das Taylor-Polynom bis zur zweiten Stufe brauchst du aber auch die partiellen Ableitungen nach verschiedenen Variablen, also zum Beispiel [mm] \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}.
[/mm]
> ii) ich bräuchte die reihendarstellung von exp(z) und was
> ist eigentlich exp ?
exp sollte die dir wohl bekannte Exponentialfunktion mit der Reihendarstellung $exp(a) = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\frac{a^{k}}{k!}$ [/mm] sein. Es gibt folgenden Satz: Hat man eine Potenzreihendarstellung einer Funktion f gefunden, so stimmt diese mit der Taylor-Reihe überein.
Grüße,
Stefan
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> > [mm]f(x,y,z)=xy^{2}z^{3}[/mm]
> >
> > [mm]f_{x}(x,y,z)=y^{2}z^{3}[/mm]
> > [mm]f_{xx}(x,y,z)=0[/mm]
> >
> > [mm]f_{y}(x,y,z)=x2yz^{3}[/mm]
> > [mm]f_{yy}(x,y,z)=x2z^{3}[/mm]
> >
> > [mm]f_{z}(x,y,z)=xy^{2}3z^{2}[/mm]
> > [mm]f_{zz}(x,y,z)=xy^{2}6z[/mm]
> >
> > richtig soweit?
>
> Ja. Für das Taylor-Polynom bis zur zweiten Stufe brauchst
> du aber auch die partiellen Ableitungen nach verschiedenen
> Variablen, also zum Beispiel [mm]\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}.[/mm]
so hier noch die ergänzung:
[mm] f_{xy}=2yz^{3}
[/mm]
[mm] f_{xz}=y^{2}3z^{2}
[/mm]
[mm] f_{yz}=x2y3z^{2}
[/mm]
[mm] x_{0}=(1,2,3)
[/mm]
[mm] f(x_{0})=13
[/mm]
[mm] f_{x}(x_{0})=108
[/mm]
[mm] f_{y}(x_{0})=108
[/mm]
[mm] f_{z}(x_{0})=108
[/mm]
[mm] f_{xx}(x_{0})=0
[/mm]
[mm] f_{xy}(x_{0})=108
[/mm]
[mm] f_{xz}(x_{0})=108
[/mm]
[mm] f_{yy}(x_{0})=54
[/mm]
[mm] f_{yz}(x_{0})=108
[/mm]
[mm] f_{zz}(x_{0})=72
[/mm]
so und wie packe ich das jetzt in einer Taylorreihe?
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Hallo,
> > > [mm]f(x,y,z)=xy^{2}z^{3}[/mm]
> > >
> > > [mm]f_{x}(x,y,z)=y^{2}z^{3}[/mm]
> > > [mm]f_{xx}(x,y,z)=0[/mm]
> > >
> > > [mm]f_{y}(x,y,z)=x2yz^{3}[/mm]
> > > [mm]f_{yy}(x,y,z)=x2z^{3}[/mm]
> > >
> > > [mm]f_{z}(x,y,z)=xy^{2}3z^{2}[/mm]
> > > [mm]f_{zz}(x,y,z)=xy^{2}6z[/mm]
> > >
> > > richtig soweit?
> >
> > Ja. Für das Taylor-Polynom bis zur zweiten Stufe brauchst
> > du aber auch die partiellen Ableitungen nach verschiedenen
> > Variablen, also zum Beispiel [mm]\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}.[/mm]
>
>
> so hier noch die ergänzung:
>
> [mm]f_{xy}=2yz^{3}[/mm]
> [mm]f_{xz}=y^{2}3z^{2}[/mm]
> [mm]f_{yz}=x2y3z^{2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]x_{0}=(1,2,3)[/mm]
>
> [mm]f(x_{0})=13[/mm]
> [mm]f_{x}(x_{0})=108[/mm]
> [mm]f_{y}(x_{0})=108[/mm]
> [mm]f_{z}(x_{0})=108[/mm]
> [mm]f_{xx}(x_{0})=0[/mm]
> [mm]f_{xy}(x_{0})=108[/mm]
> [mm]f_{xz}(x_{0})=108[/mm]
> [mm]f_{yy}(x_{0})=54[/mm]
> [mm]f_{yz}(x_{0})=108[/mm]
> [mm]f_{zz}(x_{0})=72[/mm]
Ich vertraue mal darauf, dass du rechnen kannst...
Mir fällt gerade eine Diskrepanz in der Aufgabenstellung auf - dort ist von einem "linearen Taylor-Polynom" die Rede, geschrieben wird aber [mm] T_{2}f, [/mm] was eigentlich bedeutet, dass bis zur quadratischen Ordnung approximiert werden soll. Oder habt ihr das anders definiert?
Im Falle, dass das Taylor-Polynom wirklich nur linear sein soll, brauchst du nur die ersten partiellen Ableitungen und die Formel lautet:
[mm] $T_{2}f [/mm] = [mm] f(x_{0}) [/mm] + [mm] \partial_{x}f(x_{0})*(x-[x_{0}]_{1}) [/mm] + [mm] \partial_{y}f(x_{0})*(y-[x_{0}]_{2}) [/mm] + [mm] \partial_{z}f(x_{0})*(z-[x_{0}]_{3})$
[/mm]
Dabei steht [mm] [x_{0}]_{1} [/mm] hier für die erste Komponente von [mm] x_{0}, [/mm] usw.
Diese Formel solltet ihr in der Vorlesung gehabt haben!
Grüße,
Stefan
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> Hallo,
>
> > > > [mm]f(x,y,z)=xy^{2}z^{3}[/mm]
> > > >
> > > > [mm]f_{x}(x,y,z)=y^{2}z^{3}[/mm]
> > > > [mm]f_{xx}(x,y,z)=0[/mm]
> > > >
> > > > [mm]f_{y}(x,y,z)=x2yz^{3}[/mm]
> > > > [mm]f_{yy}(x,y,z)=x2z^{3}[/mm]
> > > >
> > > > [mm]f_{z}(x,y,z)=xy^{2}3z^{2}[/mm]
> > > > [mm]f_{zz}(x,y,z)=xy^{2}6z[/mm]
> > > >
> > > > richtig soweit?
> > >
> > > Ja. Für das Taylor-Polynom bis zur zweiten Stufe brauchst
> > > du aber auch die partiellen Ableitungen nach verschiedenen
> > > Variablen, also zum Beispiel [mm]\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}.[/mm]
>
> >
> >
> > so hier noch die ergänzung:
> >
> > [mm]f_{xy}=2yz^{3}[/mm]
> > [mm]f_{xz}=y^{2}3z^{2}[/mm]
> > [mm]f_{yz}=x2y3z^{2}[/mm]
>
>
>
> > [mm]x_{0}=(1,2,3)[/mm]
> >
> > [mm]f(x_{0})=13[/mm]
> > [mm]f_{x}(x_{0})=108[/mm]
> > [mm]f_{y}(x_{0})=108[/mm]
> > [mm]f_{z}(x_{0})=108[/mm]
> > [mm]f_{xx}(x_{0})=0[/mm]
> > [mm]f_{xy}(x_{0})=108[/mm]
> > [mm]f_{xz}(x_{0})=108[/mm]
> > [mm]f_{yy}(x_{0})=54[/mm]
> > [mm]f_{yz}(x_{0})=108[/mm]
> > [mm]f_{zz}(x_{0})=72[/mm]
>
> Ich vertraue mal darauf, dass du rechnen kannst...
> Mir fällt gerade eine Diskrepanz in der Aufgabenstellung
> auf - dort ist von einem "linearen Taylor-Polynom" die
> Rede, geschrieben wird aber [mm]T_{2}f,[/mm] was eigentlich
> bedeutet, dass bis zur quadratischen Ordnung approximiert
> werden soll. Oder habt ihr das anders definiert?
>
> Im Falle, dass das Taylor-Polynom wirklich nur linear sein
> soll, brauchst du nur die ersten partiellen Ableitungen und
> die Formel lautet:
>
> [mm]T_{2}f = f(x_{0}) + \partial_{x}f(x_{0})*(x-[x_{0}]_{1}) + \partial_{y}f(x_{0})*(y-[x_{0}]_{2}) + \partial_{z}f(x_{0})*(z-[x_{0}]_{3})[/mm]
>
> Dabei steht [mm][x_{0}]_{1}[/mm] hier für die erste Komponente von
> [mm]x_{0},[/mm] usw.
> Diese Formel solltet ihr in der Vorlesung gehabt haben!
So sieht bekann aus, also wir haben die Formel im Skript stehen:
[mm] T_{1}f(x)=f(x_{0})
[/mm]
[mm] T_{2}f(x)=f(x_{0})+\nabla f(x_{0})*H [/mm]
[mm] T_{3}f(x)=f(x_{0})+\nabla f(x_{0})*H+\bruch{1}{2}H^{T}\nabla^{2} f(x_{0})*H [/mm]
so aber meinst du das: [mm] T_{2}f=13+y^{2}z^{3}(x-108)+x2yz^{3}(y-108)+xy^{2}z^{2}(z-108) [/mm] ?
und zur ii): wie soll ich anfangen?
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Hallo,
> > > [mm]x_{0}=(1,2,3)[/mm]
> > >
> > > [mm]f(x_{0})=13[/mm]
> > > [mm]f_{x}(x_{0})=108[/mm]
> > > [mm]f_{y}(x_{0})=108[/mm]
> > > [mm]f_{z}(x_{0})=108[/mm]
> > > [mm]f_{xx}(x_{0})=0[/mm]
> > > [mm]f_{xy}(x_{0})=108[/mm]
> > > [mm]f_{xz}(x_{0})=108[/mm]
> > > [mm]f_{yy}(x_{0})=54[/mm]
> > > [mm]f_{yz}(x_{0})=108[/mm]
> > > [mm]f_{zz}(x_{0})=72[/mm]
> > [mm]T_{2}f = f(x_{0}) + \partial_{x}f(x_{0})*(x-[x_{0}]_{1}) + \partial_{y}f(x_{0})*(y-[x_{0}]_{2}) + \partial_{z}f(x_{0})*(z-[x_{0}]_{3})[/mm]
> So sieht bekann aus, also wir haben die Formel im Skript
> stehen:
> [mm]T_{1}f(x)=f(x_{0})[/mm]
> [mm]T_{2}f(x)=f(x_{0})+\nabla f(x_{0})*H[/mm]
Also war meine Vermutung richtig, wir brauchen nur die ersten partiellen Ableitungen.
> so aber meinst du das:
> [mm]T_{2}f=13+y^{2}z^{3}(x-108)+x2yz^{3}(y-108)+xy^{2}z^{2}(z-108)[/mm]
> ?
Nein, das meine ich nicht!
Es ist [mm] $x_{0}=(1,2,3)^{T}$, [/mm] also [mm] $[x_{0}]_{1} [/mm] = 1$, [mm] $[x_{0}]_{2} [/mm] = 2$ = [mm] $[x_{0}]_{3} [/mm] = 3$.
Und oben hast du doch [mm] \partial_{x}f(x_{0}) [/mm] = [mm] \partial_{y}f(x_{0}) [/mm] = [mm] \partial_{z}f(x_{0}) [/mm] = 108 ausgerechnet!
Nun einfach in die Formel einsetzen!
> und zur ii): wie soll ich anfangen?
Das habe ich dir doch schon gesagt:
Es ist $ exp(a) = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\frac{a^{k}}{k!} [/mm] $, also:
$f(x,y) = [mm] exp(x^{2}*y) [/mm] =$ ???.
Nun überlege, ob du damit bereits fertig bist, also ob bereits die Gestalt einer Taylor-Reihe vorliegt.
Grüße,
Stefan
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> Hallo,
>
>
> > > > [mm]x_{0}=(1,2,3)[/mm]
> > > >
> > > > [mm]f(x_{0})=13[/mm]
> > > > [mm]f_{x}(x_{0})=108[/mm]
> > > > [mm]f_{y}(x_{0})=108[/mm]
> > > > [mm]f_{z}(x_{0})=108[/mm]
> > > > [mm]f_{xx}(x_{0})=0[/mm]
> > > > [mm]f_{xy}(x_{0})=108[/mm]
> > > > [mm]f_{xz}(x_{0})=108[/mm]
> > > > [mm]f_{yy}(x_{0})=54[/mm]
> > > > [mm]f_{yz}(x_{0})=108[/mm]
> > > > [mm]f_{zz}(x_{0})=72[/mm]
>
>
> > > [mm]T_{2}f = f(x_{0}) + \partial_{x}f(x_{0})*(x-[x_{0}]_{1}) + \partial_{y}f(x_{0})*(y-[x_{0}]_{2}) + \partial_{z}f(x_{0})*(z-[x_{0}]_{3})[/mm]
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> > So sieht bekann aus, also wir haben die Formel im Skript
> > stehen:
> > [mm]T_{1}f(x)=f(x_{0})[/mm]
> > [mm]T_{2}f(x)=f(x_{0})+\nabla f(x_{0})*H[/mm]
>
> Also war meine Vermutung richtig, wir brauchen nur die
> ersten partiellen Ableitungen.
>
> > so aber meinst du das:
> >
> [mm]T_{2}f=13+y^{2}z^{3}(x-108)+x2yz^{3}(y-108)+xy^{2}z^{2}(z-108)[/mm]
> > ?
>
> Nein, das meine ich nicht!
> Es ist [mm]x_{0}=(1,2,3)^{T}[/mm], also [mm][x_{0}]_{1} = 1[/mm],
> [mm][x_{0}]_{2} = 2[/mm] = [mm][x_{0}]_{3} = 3[/mm].
> Und oben hast du doch
> [mm]\partial_{x}f(x_{0})[/mm] = [mm]\partial_{y}f(x_{0})[/mm] =
> [mm]\partial_{z}f(x_{0})[/mm] = 108 ausgerechnet!
> Nun einfach in die Formel einsetzen!
>
> > und zur ii): wie soll ich anfangen?
>
> Das habe ich dir doch schon gesagt:
>
> Es ist [mm]exp(a) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{a^{k}}{k!} [/mm],
> also:
>
> [mm]f(x,y) = exp(x^{2}*y) =[/mm] ???.
>
> Nun überlege, ob du damit bereits fertig bist, also ob
> bereits die Gestalt einer Taylor-Reihe vorliegt.
was hat die Reihe exp(a) = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\frac{a^{k}}{k!} [/mm] mit der funktion f(x,y) = [mm] exp(x^{2}*y) [/mm] zu tun ?
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Hallo!
> > > und zur ii): wie soll ich anfangen?
> >
> > Das habe ich dir doch schon gesagt:
> >
> > Es ist [mm]exp(a) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{a^{k}}{k!} [/mm],
> > also:
> >
> > [mm]f(x,y) = exp(x^{2}*y) =[/mm] ???.
> >
> > Nun überlege, ob du damit bereits fertig bist, also ob
> > bereits die Gestalt einer Taylor-Reihe vorliegt.
>
> was hat die Reihe exp(a) =
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a^{k}}{k!}[/mm] mit der funktion f(x,y)
> = [mm]exp(x^{2}*y)[/mm] zu tun ?
Eine Menge!
So wissen wir, dass
[mm] $exp(x^{2}*y) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x^{2}*y)^{k}}{k!}$
[/mm]
Und das ist schon fast die fertige Taylor-Reihe! Schau dir nochmal in deinem Hefter, ob nochwas fehlt, ansonsten bist du fertig!
Grüße,
Stefan
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