Produkte der Binomialreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:22 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Theta |
| Aufgabe | 1. Zeigen Sie für s,t [mm] \in \mathbb{C} [/mm] und n [mm] \in \mathbb{N} \cup [/mm] {0}):
[mm] \sum_{k=0}^n \vektor{s\\k} \vektor{t\\{n-k}} [/mm] = [mm] \vektor{{s+t}\\n}
[/mm]
indem sSie dies zeigen für:
a) s,t [mm] \in \mathbb{N}
[/mm]
b) t [mm] \in \mathbb{N} [/mm] und s [mm] \in \mathbb{C}
[/mm]
c) s [mm] \in \mathbb{C} [/mm] und t [mm] \in \mathbb{C} [/mm] (Hinweis: Verwenden Sie für b, c die vorherigen Aufgaben)
2. Zeigen Sie für s,t [mm] \in \mathbb{C} [/mm] und z [mm] \in \mathbb{C} [/mm] mit |z| < 1:
[mm] B_s(z)B_t(z) [/mm] = [mm] B_{s+t}(z)
[/mm]
(Hierbei ist [mm] B_s(z) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\vektor{s\\k}z^k [/mm] )
3. Für s [mm] \in \mathbb{Q}, [/mm] -1 < x < 1 gilt:
[mm] B_s(x) [/mm] = [mm] (1+x)^s
[/mm]
(Zeigen Sie dies zunächst für s [mm] \ge [/mm] 0 und danach für allgemeines s [mm] \in \mathbb{Q})
[/mm]
4. Geben Sie Reihenentwicklungen für [mm] \sqrt{1+x}, \frac{1}{\sqrt{1+x}} [/mm] und [mm] \frac{1}{\sqrt{1-x}^2} [/mm] |
Hallo,
ich habe obige Aufgabe zu lösen und tue mich damit unerwartet schwer. Den Aufgabenteil 1 habe ich durch Umformungen zu lösen versucht, komme damit aber nicht zum Ziel.
Den Aufgabenteil 2 habe ich folgendermaßen gelöst:
[mm] B_s(z)B_t(z) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\vektor{s\\k}z^k\sum_{h=0}^{\infty}\vektor{t\\h}z^h
[/mm]
[mm] \gdw \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{h=0}^{\infty}\vektor{s\\k}z^k\vektor{t\\h}z^h
[/mm]
[mm] \gdw \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{h=0}^{\infty}\vektor{s\\k}\vektor{t\\h}z^kz^h
[/mm]
[mm] \gdw \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{h=0}^{\infty}\vektor{s\\k}\vektor{t\\h}z^{k+h}
[/mm]
[mm] \gdw \sum_{k=0}^{s}\sum_{h=0}^{t}\vektor{s\\k}\vektor{t\\h}z^{k+h}
[/mm]
Setze k+h=n
[mm] \gdw \sum_{k=0}^{s+t}(\sum_{h=0}^{n}\vektor{s\\k}\vektor{t\\n-k}z^n
[/mm]
[mm] \gdw \sum_{k=0}^{\infty}\vektor{s+t\\k}z^k [/mm] = [mm] B_{s+t}(z)
[/mm]
Zum 3. Aufgabeteil habe ich wieder keine Idee. Muss aber auch gestehen, dass mein Hauptaugenmerk bislang auf 1. lag. Wäre über einen Hinweis dankbar.
Zum 4. Aufgabenteil habe ich mir nun überlegt, dass wegen Teil 3 gilt:
[mm] \sqrt{1+x}=(1+x)1 {\frac{1}{2}} [/mm] = [mm] B_{\frac{1}{2}}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\vektor{\frac{1}{2}\\k}x^k
[/mm]
[mm] \frac{1}{\sqrt{1+x}}=(1+x)^{-\frac{1}{2}}=B_{-\frac{1}{2}}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\vektor{\frac-{1}{2}\\k}x^k
[/mm]
Beim dritten bin ich nicht sicher.
Ich hoffe ihr könnt mir vielleicht ein paar Tipps geben, wäre schon recht dringend.
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 18.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
