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Hallo, wie geht es hier weiter?:
Ich integriere mit der Produktintegration:
[mm] \integral_{0}^{pi} e^x *cos(x)\, [/mm] dx
Ich bin soweit gekommen: v'(x)=cos(x) v(x)= sin(x)
[mm] u(x)=e^x u'(x)=e^x
[/mm]
[mm] \integral_{-N}^{N} [/mm] cos(x) [mm] *e^x\, [/mm] dx =[sin(x) [mm] *e^x] [/mm] - [mm] \integral_{0}^{pi} sin(x)*e^x\, [/mm] dx
Thanx
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Mo 10.12.2007 | | Autor: | legris |
Hallo,
Du meinst wohl partielle Integration, und nicht Produktintegration. Auf jeden Fall ist es richtig partiell zu integrieren. Hier nochmals zur Erinnerung die Regel:
[mm] \integral_{a}^{b}{u'(x)*v(x) dx}=[uv]_{a}^{b}-\integral_{a}^{b}{uv' dx}
[/mm]
In unserem Fall ist nun [mm] u'(x)=e^{x} [/mm] und [mm]v(x)=cos(x)[/mm]. Die erste partielle Integration liefert:
[mm] I:=\integral_{0}^{\pi}{e^{x} cos(x)dx}=[e^{x} cos(x)]_{0}^{\pi}+\integral_{0}^{\pi}{e^{x} sin(x)}
[/mm]
[mm] =-e^{\pi}-e^{0}+\integral_{0}^{\pi}{e^{x} sin(x)}
[/mm]
[mm] =-e^{\pi}-1+\integral_{0}^{\pi}{e^{x} sin(x)}
[/mm]
Eine zweite partielle Integration liefert das folgende:
[mm] I=-e^{\pi}-1+\underbrace{[e^{x} sin(x)]_{0}^{\pi}}_{=0}-\integral_{0}^{\pi}{e^{x} cos(x)dx}
[/mm]
[mm] =-e^{\pi}-1-\integral_{0}^{\pi}{e^{x} cos(x)dx}
[/mm]
Wie du siehst steht jetzt auf der rechten Seite wieder das Integral I, das du berechnen sollst. Somit gilt:
[mm] I=-e^{\pi}-1-I
[/mm]
[mm] 2I=-1-e^{\pi}
[/mm]
[mm] I=-(\bruch{1+e^{\pi}}{2})
[/mm]
Diese Vorgehensweise ist übrigens bei Integralen mit trigonometrischen Funktionen oft anzutreffen!
MfG, legris
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wie kommst du denn darauf? Kann man nicht erstmal umformen, ohne einzusetzen?
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> [mm]=-e^{\pi}-e^{0}+\integral_{0}^{\pi}{e^{x} sin(x)}[/mm]
>
> [mm]=-e^{\pi}-1+\integral_{0}^{\pi}{e^{x} sin(x)}[/mm]
>
> Eine zweite partielle Integration liefert das folgende:
>
> [mm]I=-e^{\pi}-1+\underbrace{[e^{x} sin(x)]_{0}^{\pi}}_{=0}-\integral_{0}^{\pi}{e^{x} cos(x)dx}[/mm]
>
> [mm]=-e^{\pi}-1-\integral_{0}^{\pi}{e^{x} cos(x)dx}[/mm]
>
> Wie du siehst steht jetzt auf der rechten Seite wieder das
> Integral I, das du berechnen sollst. Somit gilt:
>
> [mm]I=-e^{\pi}-1-I[/mm]
>
> [mm]2I=-1-e^{\pi}[/mm]
>
> [mm]I=-(\bruch{1+e^{\pi}}{2})[/mm]
>
> Diese Vorgehensweise ist übrigens bei Integralen mit
> trigonometrischen Funktionen oft anzutreffen!
>
> MfG, legris
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
klar kannst du auch erstmal berechnen, ohne einzusetzen. Ich setzte eg. auch erst immer dann ein, wenn ich die Stammfunktion schon habe.
Aber die Vorgehensweise mit 2x partieller Integration hilft dir, wie mein Vorredner schon sagte, bei trigonom. Funktionen oft hilfreich.
LG
Kroni
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wie du partiell integrierst scheinst du ja zu wissen.
Dann hast du ja nach dem ersten mal partiell Integrieren ein [mm] e^x*sin(x) [/mm] oder ähnliches da stehen. Wenn du nun dieses Integral nochmal partiell Integrierst, so wird aus dem sin wieder ein cos, und du hast auf der rechten Seite nochmal das Integral stehen, was du berechnen solltest. Dann ziehst du das auf die linke Seite, teilst durch zwei und bist fertig.
Jetzt bist du dran.
LG
Kroni
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und [mm] 8*e^{-0,2x} [/mm] *sin(x)? Stammfunktion? 0-15)
u'(x)= [mm] 8*e^{-0,2x} [/mm] u(x)= [mm] -40*e^{-0,2x}
[/mm]
v(x)=sin(x) v'(x)= cos(x)
[mm] \integral_{0}^{15} 8*sin(x)*e^{-0,2x}\, [/mm] dx [mm] =[-40sin(x)*e^{-0,2x}]-\integral_{0}^{15} -40*cos(x)*e^{-0,2x}\, [/mm] dx
Integrieren von [mm] \integral_{0}^{15} 40*cos(x)*e^{-0,2x}\, [/mm] dx
u'(x)= [mm] -40*e^{-0,2x} u(x)=200*e^{-0,2x}
[/mm]
v(x)= cos(x) v'(x)= -sin(x)
haraus kommt:::: [mm] \integral_{0}^{15} -40*cos(x)*e^{-0,2x}\, [/mm] dx= [mm] [200*e^{-0,2x} [/mm] *cos(x)] [mm] +\integral_{0}^{15} sin(x)*200*e^{-0,2x}\, [/mm] dx
Das setze ich ein:
[mm] \integral_{0}^{15} 8*sin(x)*e^{-0,2x}\, [/mm] dx [mm] =[-40sin(x)*e^{-0,2x}]+[200*e^{-0,2x}*cos(x)] [/mm] usw. ich sehe, dass sich das nicht auflösen lässt
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Hallo,
> und [mm]8*e^{-0,2x}[/mm] *sin(x)? Stammfunktion? 0-15)
> u'(x)= [mm]8*e^{-0,2x}[/mm] u(x)= [mm]-40*e^{-0,2x}[/mm]
> v(x)=sin(x) v'(x)= cos(x)
>
> [mm]\integral_{0}^{15} 8*sin(x)*e^{-0,2x}\,[/mm] dx
> [mm]=[-40sin(x)*e^{-0,2x}]-\integral_{0}^{15} -40*cos(x)*e^{-0,2x}\,[/mm]
> dx
>
> Integrieren von [mm]\integral_{0}^{15} 40*cos(x)*e^{-0,2x}\,[/mm]
> dx
> u'(x)= [mm]-40*e^{-0,2x} u(x)=200*e^{-0,2x}[/mm]
> v(x)= cos(x)
> v'(x)= -sin(x)
>
> haraus kommt:::: [mm]\integral_{0}^{15} -40*cos(x)*e^{-0,2x}\,[/mm]
> dx= [mm][200*e^{-0,2x}[/mm] *cos(x)] [mm]+\integral_{0}^{15} sin(x)*200*e^{-0,2x}\,[/mm]
> dx
>
> Das setze ich ein:
> [mm]\integral_{0}^{15} 8*sin(x)*e^{-0,2x}\,[/mm] dx
> [mm]=[-40sin(x)*e^{-0,2x}]+[200*e^{-0,2x}*cos(x)][/mm] usw. ich
> sehe, dass sich das nicht auflösen lässt
>
Du hast dich etwas verrechnet.
[mm]8*\integral_{0}^{15} sin(x)*e^{-0,2x}\,dx =\left[-40*sin(x)*e^{-0,2x}\right]_{0}^{15}+\integral_{0}^{15} 40*cos(x)*e^{-0,2x}\,dx[/mm]
[mm]8*\integral_{0}^{15} sin(x)*e^{-0,2x}\,dx =\left[-40*sin(x)*e^{-0,2x}\right]_{0}^{15}-\left[ 200*cos(x)*e^{-0,2x}\right]_{0}^{15}-200*\integral_{0}^{15} sin(x)*e^{-0,2x}\,dx [/mm]
[mm]208*\integral_{0}^{15} sin(x)*e^{-0,2x}\,dx =\left[-40*sin(x)*e^{-0,2x}\right]_{0}^{15}-\left[ 200*cos(x)*e^{-0,2x}\right]_{0}^{15}[/mm]
[mm]\integral_{0}^{15} sin(x)*e^{-0,2x}\,dx =\bruch{-1}{208}*\left[40*sin(x)*e^{-0,2x}\right]_{0}^{15}-\bruch{1}{208}*\left[ 200*cos(x)*e^{-0,2x}\right]_{0}^{15}[/mm]
So ich mich nicht verrechnet habe.
LG, Martinius
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