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Forum "Integralrechnung" - Produktintegration
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Produktintegration: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:46 Di 10.02.2009
Autor: LK2010

Aufgabe
[mm] \integral_{0}^{1}{(2*x-7)^{8} dx} [/mm]

Hey, wie man im Grunde Integrale mit der Produktintegration bzw. Substitution ausrechnet, weiß ich. Aber hier komme ich leider nicht weiter.. ich habe schon versucht auf einige Wegen versucht :

(1) Produktintegration :
[mm] u(x)=(2*x-7)^{8} [/mm]   u'(x)=16*(2*x - [mm] 7)^7 [/mm]
v'(x)=1 v(x)=x

leider bekomme ich dann wieder ein Integral, auf der ich die Produktintegration anwenden müsste, dass dann ca. auch gleich 7 oder 8 mal...  =/.. .
gibt es da nicht noch ein kürzeren Weg?

        
Bezug
Produktintegration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:50 Di 10.02.2009
Autor: abakus


> [mm]\integral_{0}^{1}{(2*x-7)^{8} dx}[/mm]
>  Hey, wie man im Grunde
> Integrale mit der Produktintegration bzw. Substitution
> ausrechnet, weiß ich. Aber hier komme ich leider nicht
> weiter.. ich habe schon versucht auf einige Wegen versucht
> :
>  
> (1) Produktintegration :
> [mm]u(x)=(2*x-7)^{8}[/mm]   u'(x)=16*(2*x - [mm]7)^7[/mm]
>  v'(x)=1 v(x)=x

Das (hoch 8) ist zu viel des Guten.
Substituiere einfach 2x-7=u.
Gruß Abakus


>  
> leider bekomme ich dann wieder ein Integral, auf der ich
> die Produktintegration anwenden müsste, dass dann ca. auch
> gleich 7 oder 8 mal...  =/.. .
>  gibt es da nicht noch ein kürzeren Weg?


Bezug
                
Bezug
Produktintegration: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:54 Di 10.02.2009
Autor: LK2010

Tut mir leid, aber i-wie versteh ich das immer noch nicht ganz.
wieso denn jetzt auf einmal nur u(x)=2*x-7 wo bleibt denn da die (hoch 8) und mach ich das nu überhaupt den mit der Produktintegration?!


Bezug
                        
Bezug
Produktintegration: Substitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:55 Di 10.02.2009
Autor: Loddar

Hallo LK2010!


Nein, Du brauchst hier keine Produktintegration (bzw. "partielle Integration").

Es geht hier mit der genannten Substitution $u \ := \ 2x-7$ .


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Produktintegration: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:58 Di 10.02.2009
Autor: LK2010

Ich steh zimmlich auf nen Schlauch.. ich hab keine ahnung, wie ich das denn nu so machen muss.
Also wenn u(x)=2*x-7 dann is u'(x)=2
aber was bitte ist den v(x)=? [mm] v(x)=x^{8} [/mm] ?! ich versteh nu nix mehr... :(

Bezug
                                        
Bezug
Produktintegration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 Di 10.02.2009
Autor: abakus


> Ich steh zimmlich auf nen Schlauch.. ich hab keine ahnung,
> wie ich das denn nu so machen muss.
>  Also wenn u(x)=2*x-7 dann is u'(x)=2
>  aber was bitte ist den v(x)=? [mm]v(x)=x^{8}[/mm] ?! ich versteh nu
> nix mehr... :(

Was willst du mit v? Das kommt hier gar nicht vor.
Du sollst an Stelle von [mm] (2x-7)^8 [/mm] jetzt nur noch [mm] u^8 [/mm] integrieren. Dabei muss allerdings noch dx durch das entsprechend richtige du ersetzt werden.
Gruß Abakus


Bezug
                                                
Bezug
Produktintegration: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:22 Di 10.02.2009
Autor: LK2010

Es tut mir sehr leid.. aber ich versteh es nich =( :'(... wieso denn jetzt aufeinmal [mm] u^{8}.. [/mm] ?! .. kann mir vielleicht jemand den Anfang der genauen Rechnung hinschreiben, weil ich steig da nicht mehr durch...


Bezug
                                                        
Bezug
Produktintegration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:38 Di 10.02.2009
Autor: Tyskie84

Hallo,

was weisst du denn über das Lösen von Integralen mit Substitutionen? Wie habt ihr das in der Schule gemacht?

Du hast ein Integral:

[mm] \integral_{}^{}{(4x+8)^{2}dx} [/mm] Dieses Integral kannst du so lösen:

Ich wende die Binomische Formel an: [mm] \integral_{}^{}{16x²+64x+64 dx}=\bruch{16}{3}x^{3}+32x²+64x+c [/mm]

ODER ich substituiere. Genau das sollst du in deiner Aufgabe machen.

[mm] \integral_{}^{}{(\green{4x+8})^{2}\red{dx}} [/mm]

Sei [mm] \\z=\green{4x+8} [/mm] Das leite ich nach [mm] \\x [/mm] ab. Also [mm] \bruch{dz}{dx}=4. [/mm] Jetzt stelle ich das nach [mm] \\dx [/mm] um. [mm] \red{dx}=\bruch{dz}{4} [/mm]

Erstetze also das [mm] \\dx. [/mm]

[mm] \integral_{}^{}{(\green{z})^{2}\bruch{dz}{4}}=\bruch{1}{4}\integral_{}^{}{(\green{z})^{2}dz}=\bruch{1}{4}\cdot\bruch{1}{3}\cdot\\z^{3}=\bruch{1}{12}\cdot(4x+3)^{3}+c=\bruch{16}{3}x^{3}+32x^{2}+64+c [/mm]

Wie du siehst ist die Variante mit der Substitution schneller als wenn du alles ausmultiplizierst. Und bedenke dabei dass du eine Aufgabe mit [mm] \\(...+...)^{\red{8}} [/mm] hast. Das ausmultiplizieren wäre nich klug da man sich leicht verrechnen kann.

Wende dies jetzt auf deine Aufgabe an.

[hut] Gruß

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