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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Do 29.09.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Vor einiger Zeit hatte ich hier schon mal eine Frage deswegen gelesen, wie man sin²x integriert.
Die Antwort war damals - zweimal integrieren.
Klingt auch logisch, nur irgendwie klappts bei mir nicht.
Da die Suchfunktion nicht geht und die damalige Frage mir wohl nicht so geholfen hat, leg einfach mal los:
achso und die Integralsgrenzen lassen wir einfach mal weg! Die verwirren mich nur.
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] sin(x)*sin(x) dx
u=sin(x)
u'=cos(x)
v'=sin(x)
v=-cos(x)
[mm] \integral_{a}^{b} sin^{2}(x) [/mm] dx = sin(x) * (-cos(x)) - [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] cos(x) *(-cos(x))
Minuszeichen vorgezogen:
[mm] \integral_{a}^{b} sin^{2}(x) [/mm] dx = -sin(x) * cos(x) - [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] -cos(x) *cos(x) dx
u= -cos(x)
u'=sin(x)
v' = cos(x)
v= sin(x)
(den zweiten Durchgang des Integrierens setze ich mal in eckige Klammern)
[mm] \integral_{a}^{b} sin^{2}(x) [/mm] dx = -sin(x) * cos(x) - [-cos(x)*sin(x) - [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] sin(x)*sin(x) dx]
Ich bin mir ziemlich sicher, dass das schon falsch ist. Ich weiß bloß nicht wo. Das muss wieder ein sau dämlicher Fehler sein. Ich meine, angenommen ich würde [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] sin(x)*sin(x) dx auf die andere Seite schaffen, so würde da 0 = .... stehen : Wegen dem Minus, was vor der Eckigen Klammer noch steht!!!!
Aber eigentlich muss ich auf der linken Seite ja auf so etwas kommen:
[mm] 2\integral_{a}^{b} sin^{2}(x) [/mm] dx = ...
Ich hoffe, jemand kann mir da helfen.
Danke
MfG Johann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Do 29.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Johann!
Bis hierhin war ja alles richtig:
[mm] $\int \sin^2(x)\, [/mm] dx = [mm] -\sin(x)\cos(x) [/mm] + [mm] \int \cos^2(x)\, [/mm] dx + C'$.
Nun gilt ja (trigonometrischer Pythagoras): [mm] $\cos^2(x) [/mm] = 1- [mm] \sin^2(x)$,
[/mm]
also:
[mm] $\int \sin^2(x)\, [/mm] dx = [mm] -\sin(x)\cos(x) [/mm] + [mm] \int [/mm] (1- [mm] \sin^2(x))\, [/mm] dx = x - [mm] \sin(x)\cos(x) [/mm] - [mm] \int \sin^2(x)\, [/mm] dx + C'$.
Bringt man [mm] $-\int \sin^2(x)\, [/mm] dx$ aus die andere Seite und teilt durch $2$, so erhält man:
[mm] $\int \sin^2(x) \, [/mm] dx = [mm] \frac{1}{2} \cdot (x-\sin(x)\cos(x)) [/mm] + C$.
Probe:
[mm] $\frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{2} \cdot (x-\sin(x)\cos(x)) \right] [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] ( 1 [mm] -\cos^2(x) [/mm] + [mm] \sin^2(x)) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} (\sin^2(x) [/mm] + [mm] \cos^2(x) [/mm] - [mm] \cos^2(x) [/mm] + [mm] \sin^2(x)) [/mm] = [mm] \sin^2(x)$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Do 29.09.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo Julius.
> Nun gilt ja (trigonometrischer Pythagoras): [mm]\cos^2(x) = 1- \sin^2(x)[/mm],
Danke für diese und die folgende schöne Erklärung, die hat eine Wissenslücke von vielen schon mal geschlossen.
> Probe:
>
> [mm]\frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{2} \cdot (x-\sin(x)\cos(x)) \right] = \frac{1}{2} ( 1 -\cos^2(x) + \sin^2(x)) = \frac{1}{2} (\sin^2(x) + \cos^2(x) - \cos^2(x) + \sin^2(x)) = \sin^2(x)[/mm]
>
Und gnaz besonders toll find ich es, dass du hier diese schöne Probe gemacht hast. Ganz lieben Dank dafür.
> Liebe Grüße
> Julius
Grüße Johann.
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