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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Di 22.02.2011 | | Autor: | hilbert |
Ich soll zeigen, dass die nte Ableitung folgendermaßen gilt:
[mm] (f*g)^{(n)} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\ i}f^{(n)}g^{(n-i)}
[/mm]
Per Induktion ist dies ja zu lösen.
Das "schwierige" ist nur der Induktionsschritt:
[mm] (f*g)^{(n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{d}{dx}((f*g)^{(n)})
[/mm]
= [mm] \bruch{d}{dx} [/mm] ( [mm] \summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\ i}f^{(n)}g^{(n-i)})
[/mm]
Wie bekomme ich das jetzt so aufgelöst dass ich nur noch die Summe dastehen habe und mit dieser weiterrechnen kann?
Vielen Dank im Voraus
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Hallo hilbert,
> Ich soll zeigen, dass die nte Ableitung folgendermaßen
> gilt:
>
> [mm](f*g)^{(n)}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\
i}f^{(\red{n})}g^{(n-i)}[/mm]
Geht das nicht bei [mm]i=0[/mm] los?
Außerdem muss da [mm]f^{(\red{i})}(x)[/mm] stehen!
>
> Per Induktion ist dies ja zu lösen.
>
> Das "schwierige" ist nur der Induktionsschritt:
Das stimmt 
>
> [mm](f*g)^{(n+1)}[/mm] = [mm]\bruch{d}{dx}((f*g)^{(n)})[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> = [mm]\bruch{d}{dx}[/mm] ( [mm]\summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\
i}f^{(\red{i})}g^{(n-i)})[/mm]
>
> Wie bekomme ich das jetzt so aufgelöst dass ich nur noch
> die Summe dastehen habe und mit dieser weiterrechnen
> kann?
[mm]=\sum\limits_{i=0}^{n}\vektor{n\\
i}\cdot{}\left(f^{(i+1)}(x)g^{(n-i)}(x)+f^{(i)}(x)g^{(n+1-i)}(x)\right)[/mm] nach Produktregel.
Nun ziehe die Summe distributiv auseinander.
Dann ziehe aus der ersten Summe den ersten Summanden heraus. bei der zweiten Summe mache eine Indexverschiebung (Laufindex um 1 erhöhen).
Dort dann den letzten Summanden (für [mm]i=n+1[/mm]) rausziehen.
Dann kannst du die Summen wieder zusammenfügen.
Beachte dabei die Regel für die Binomialkoeffizienten:
[mm]\vektor{n\\
i}+\vektor{n\\
i-1}=\vektor{n+1\\
i}[/mm]
>
> Vielen Dank im Voraus
>
Gruß
schachuzipus
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