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Hi, ich schon wieder.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vorweg: Bitte achtet auf die Hochzahlen, die negativen zb. Hoch - 4 sind komisch durch Tex aufgeschrieben, das Minus ist zwar "hoch" aber die 4 sieht dann wie eine ganz normale 4 aus. Achtet bitte darauf. Zudem: Viele Fragen haben sich schon beim durchlesen eruebrigt, trozdem sind noch einige Fragen da. Verzeiht meine inkompetenz, dass ich die Fehler in den Aufgaben vorher nicht gefunden habe!
Nun zu meinen Fragen:
Seit Stunden bin ich schon die Regeln am Pauken und Ableitungen am bilden wie ein Verrueckter - die meisten Sachen funktionieren auch ohne Probleme, doch habe ich einige Wissensluecken bei einigen Aufgaben. Ich hoffe, dass ihr mir diesbezueglich helfen koennt. Also dann fange ich mal an:
1)
f(x) = [mm] \bruch{1}{8} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{2} [/mm] - [mm] x^2 )^7
[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{1}{8} [/mm] * 7 * [mm] (\bruch{1}{2} [/mm] - [mm] x^2)^6 [/mm] * 2x
= [mm] \bruch{7}{8} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{2} [/mm] - [mm] x^2)^6 [/mm] * 2x
Soweit komm ich mit der Zusammenfassung, das richtige Ergebnis auf dem Loesungsblatt:
f'(x) = - [mm] \bruch{7}{4} [/mm] x * [mm] (\bruch{1}{2} [/mm] - [mm] x^2)^6
[/mm]
Meine Frage: Wie kommt man darauf?
NACHTRAG: Beim durchlesen, habe ich den Fehler gefunden - ein kleines "-" fehlt - sorry deswegen.
2)
h(x) = ( 1 - x + [mm] x^3)^2
[/mm]
h'(x) = -2 * (1 - x + [mm] x^3) [/mm] * [mm] 3x^2
[/mm]
Hinweis: Den ersten Rechenschritt bei der Zusammenfassung hab ich mir mal erspart - hoffe, dass das in Ordnung geht.
Soweit krieg ich es zusammengefasst, das richtige Ergebnis auf dem Loesungsblatt:
h'(x) = 2 * (1 - x + [mm] x^3) [/mm] * [mm] (3x^2 [/mm] - 1)
Auch hier: Wie wurde dort zusammengefasst?
NACHTRAG: Manno, schon wieder den Fehler beim durchlesen gefunden ... arf - dumme Fluechtigkeitsfehler ... ich sollte schlafen gehen. Sorry deswegen!
3)
g(x) = [mm] 3x^2 [/mm] + [mm] (x^2 [/mm] - [mm] 1)^3
[/mm]
g'(x) = 6x + 6x * [mm] (x^2 [/mm] - [mm] 1)^2
[/mm]
Richtiges Ergebnis:
g'(x) = 6x * (1 + [mm] (x^2 [/mm] - [mm] 1)^2)
[/mm]
Hier wurde 6x irgendwie ausgeklammert - meine Ueberlegung: Wenn ich jetzt das richtige Ergebnis ausmultiplizeren wuerde, haette ich doch nur ein 6x? Aber in meiner Ableitung haben wir 6x + 6x ... wie funktioniert das?
4)
f(x) = [mm] (\bruch{1}{2}x [/mm] - [mm] 5x^3)^-3
[/mm]
f'(x) = - [mm] \bruch{3}{2} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{2}x [/mm] - [mm] 5x^3)^-4 -15x^2
[/mm]
Richtiges Ergebnis:
f'(x) = -3 * [mm] (\bruch{1}{2}x [/mm] - [mm] 5x^3)^-4 [/mm] * [mm] (\bruch{1}{2} [/mm] - [mm] 15x^2)
[/mm]
Wie zum Geier kommt man auf sowas?
NACHTRAG: Auch hier wieder mal den Fehler beim durchlesen gefunden. Eigentlich sind es immer die gleichen - gut, dass ich den jetzt gesehen hab. Die Frage entfaellt also auch. Sorry ich muss heut was falsches geraucht haben.
5)
Eines meiner groeßten Probleme:
f(x) = sin(2x)
Mit sinus etc. komm ich bei der Kettenregel und Produktregel ueberhaupt nicht klar - ich sehe dort nicht mal eine Kettenregel, koennte mir da jemand helfen? Erlaeutern wie ich dieses sinus zu behandeln habe? Bei allen anderen Aufgaben habe ich zumindest alles ausgerechnet bekommen - nur teilweise nicht vollstaendig zusammengefasst, aber bei sinus, cosinus stehe ich komplett aufm Schlauch.
6)
f(x) = [mm] \wurzel{3x} [/mm] = [mm] (3x)^\bruch{1}{2}
[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (3x)^-\bruch{1}{2} [/mm] * 3
= [mm] \bruch{3}{2} [/mm] * [mm] \wurzel{3x}
[/mm]
Fein - soweit komm ich. Richtiges Ergebnis:
f'(x) = [mm] \wurzel{\bruch{3}{4x}}
[/mm]
Auch hier wieder die Frage: Wie?
7)
f(x) = 2 * cos(1-x)
Nur mal ein weiteres Beispiel fuer sinus und cosinus - hier kam ich auch ueberhaupt nicht zurecht.
8)
Mal die letzten Schritte der Ableitung, da diese Ableitung richtig ist laut Loesungsblatt, trozdem hab ich eine Frage:
= -2 * [mm] (x^3 [/mm] - [mm] \wurzel [/mm] {x})^-3 * [mm] (3x^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2 * \wurzel{x}})
[/mm]
= [mm] (x^3 [/mm] - [mm] \wurzel{x})^-3 [/mm] * [mm] (-6x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}}
[/mm]
Hier wurde einfach - 2 * die letzte Klammer genommen - klar. Also wurde auch -2 * [mm] \bruch{1}{2 * \wurzel{x}} [/mm] gerechnet --> dadurch entfaellt die 2 im Nenner, veraendert sich Wurzel x gar nicht dadurch? Bleibt das immer einfach so? Warum wird das nicht in irgendeiner Weise verrechnet? Vermutlich betrachte ich das auf die falsche Weise... waere sehr dankbar fuer Hilfe diesbezueglich.
9)
f(x) = x * [mm] \wurzel{x}
[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{\wurzel{x} + x}{2 * \wurzel{x}}
[/mm]
Soweit so gut, richtiges Ergebnis lautet:
f'(x) = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] * [mm] \wurzel{x}
[/mm]
Wie ... :)? Immer diese verfluchten Potenzregeln.
Ich denke, das wars fuers erste mit den Fragen - das ist schon viel zu viel ;). Falls Tex Fehler entstanden sind und ich welche uebersehen habe, dann bitte ich dies zu verzeihen - viel Tipparbeit und ich hab alles ueberprueft, moeglicherweise haben sich doch kleine Tippfehler eingeschlichen.
Falls ihr mir hierbei helfen wuerdet, waere ich euch sehr dankbar, da ich Freitag eine LK Klausur ueber diesen Kram schreibe und mit den obenstehenden Sachen nicht so gut klarkomme - ich war schon den ganzen Tag am bueffeln und hoffe, dass ich mit eurer Hilfe ne vernuenftige Klausur schreibe.
Vielen Dank im vorraus!
MFG Tim
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Na gut, erstmal zu 4)
Hm da steht ja f(x) = [mm] 3x^2 [/mm] + [mm] (x^2 [/mm] - [mm] 1)^3
[/mm]
Nun, warum die 6x + 6x * [mm] (x^2 [/mm] - [mm] )^2 [/mm] ?
Na, das erste 6x ist die Ableitung von [mm] 3x^2, [/mm] das zweite 6x folgt aus dem Klammerausdruck...
Ok, dann:
f(x) = sin(2x)
Die Kettenregel beruht ja auf den mittelbaren Funktionen. Du kannst y = sin(2x) auch als mittelbare Funktion darstellen: y = sin(u) , u = 2x
So, f'(x) = y' * u' = cos(u) * 2 = 2 * cos(2x)
Allgemein sind die Ableitungen folgende:
f(x) = sin(x) , f'(x) = cos(x)
g(x) = cos(x) , g'(x) = - sin(x)
h(x) = tan(x) , h'(x) = 1 / [mm] cos^2(x)
[/mm]
k(x) = cot(x) , k'(x) = 1 / [mm] sin^2(x)
[/mm]
Naja, und wenn du halt da nicht zum Beispiel sin(x) sondern sin(2x) hast, musst du es wie beschrieben mit der Kettenregel bearbeiten.
P.S. Da gibt's noch weitere lustige Ableitungen für die ganzen Arcusse.
Öhm, ok die f(x) = 2 * cos(1-x) bearbeitest du genauso.
Hier wäre ja y = 2 * cos(u) , u = 1 - x, also f'(x) = 2 * sin(1-x)
Naja, schau dir doch einfach die Potenzgesetze an. Dann merkst du, dass du oft damit eher Fehler machst als mit der Ableitung. Die 6) ist richtig berechnet. Du hast ha doch auch (3x)^(-1/2) hingeschrieben.
Also steht die Wurzel aus 3x dann auch unterm Bruchstrich. Dann stimmt es nänlich auch mit der Lösung überein.
Und zur 9):
Was ist x * x^(1/2) denn? Es ist x^(3/2). Und die Ableitung davon ist 3/2 * x^(1/2)
Also, schau die besser nochmal die Potenzgesetze an, und informiere dich über mittelbare Funktionen, dann verstehst du die Kettenregel auch besser. (Ging mir so)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 Mi 21.09.2005 | | Autor: | evilmaker |
Vielen Dank fuer die umfangreiche Hilfe :).
Ihr habt mir echt geholfen! Tausend Dank!
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Hallo,
also ihr solltet euch lieber daran gewöhnen, solche Aufgaben toll zu finden, denn sie sind wirklich einfach!!
Bloße Anwendung der Differentiationsregeln...!!
Zu 1) Da stimmt schon etwas nicht:
u=1/8 und [mm] v=(0,5-x^{2})^{7}
[/mm]
u'=1 [mm] v'=-2x(0,5-x^{2})^{6}*7
[/mm]
[mm] f(x)=\bruch{1}{8}(0,5-x^{2})^{7}
[/mm]
Produkt- und Kettenregel anwenden...:
[mm] f'(x)=-2x(0,5-x^{2})^{6}*7*\bruch{1}{8}+1*(0,5-x^{2})^{7}
[/mm]
Zusammenfassen und fertig und geht das immer! Erst u ableiten und v stehen lassen und dann u stehen lassen und v ableiten und die Kettenregel mitanwenden (äußere Ableitung*innere Ableitung)
Viel/e Erfolg/Grüße
mathmetzsch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:37 Di 20.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathmetzsch!
> Zu 1) Da stimmt schon etwas nicht:
> u=1/8 und [mm]v=(0,5-x^{2})^{7}[/mm]
> u'=1 [mm]v'=-2x(0,5-x^{2})^{6}*7[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Die Ableitung einer Konstanten ergibt ja 0.
Es gilt also: $u' \ = \ [mm] \red{0}$ [/mm] !!!
Damit verbleibt als Gesamtergebnis:
$f'(x) \ = \ [mm] \red{0} [/mm] \ + \ [mm] 7*\left(0,5-x^2\right)^6*(-2x) [/mm] \ = \ [mm] -14x*\left(0,5-x^2\right)^6$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hi, evilmaker,
> 1)
> f(x) = [mm]\bruch{1}{8}[/mm] * [mm](\bruch{1}{2}[/mm] - [mm]x^2 )^7[/mm]
> f'(x) =
> [mm]\bruch{1}{8}[/mm] * 7 * [mm](\bruch{1}{2}[/mm] - [mm]x^2)^6[/mm] * 2x
Vorzeichenfehler: *(- 2x) !!
Daher: = [mm]\bruch{7}{8}[/mm] * [mm](\bruch{1}{2}[/mm] - [mm]x^2)^6[/mm] *(- 2x)
= [mm] -2x*\bruch{7}{8}*(\bruch{1}{2} [/mm] - [mm] x^{2})^6
[/mm]
= [mm] -\bruch{7}{4}x*(\bruch{1}{2} [/mm] - [mm] x^{2})^6
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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