Produktreihe, absolut konv < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Mo 05.10.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Im Skript steht:
If [mm] \sum_{k\ge0} a_k [/mm] und [mm] \sum_{k\ge} b_k [/mm] are absolutely convergent series, then every product series [mm] \sum_{k \e 0} c_k [/mm] ist absolutely convergent and satisfies
[mm] (\sum_{k \ge 0} a_k) [/mm] * [mm] (\sum_{l \ge 0} b_l)= \sum_{m \ge 0} c_m.
[/mm]
Proof:
For each l there exists m such that [mm] c_0, c_1,.., c_l [/mm] appear among the products [mm] a_i b_j, [/mm] 0 [mm] \le [/mm] i, j [mm] \le [/mm] m . Thus
[mm] \sum_{k=0}^l |c_k| \le (\sum_{i=0}^m |a_i|) [/mm] * [mm] (\sum_{j=0}^m |b_j|) \le (\sum_{i=0}^\infty |a_i|) [/mm] * [mm] (\sum_{j=0}^\infty |b_j|) <\infty
[/mm]
Hence [mm] \sum_{k=0}^\infty c_k [/mm] is absolutely convergent, and therefore unconditionally convergent, whence
[mm] \sum_{k=0}^\infty c_k [/mm] = [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} (\sum_{i=0}^n a_i) (\sum_{j=0}^n b_j)= (\sum_{i=0}^\infty a_i) (\sum_{j=0}^\infty b_j). [/mm] |
Hallo,
Ich verstehe alles bis auf einen Schritt.
Zuerst wird gezeigt dass jede Produktreihe absolut konvergiert. Nach dem Umordnungssatz haben alle Produktreihen den selben Grenzwert, da es sich nur um Umordnungen handelt.
Aber der [mm] Schritt:\sum_{k=0}^\infty c_k [/mm] = [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} (\sum_{i=0}^n a_i) (\sum_{j=0}^n b_j)
[/mm]
ist mir nicht klar!
[mm] \sum_{k=0}^\infty c_k [/mm] = [mm] \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=0}^n c_k
[/mm]
Aber [mm] \sum_{k=0}^n c_k \not= (\sum_{k=0}^n a_i)* (\sum_{j=0}^n b_j)
[/mm]
Also was berechtigt den Schritt?
Eigentlich ist ja noch zu Zeigen, dass eine solche Produktreihe gegen [mm] (\sum_{k \ge 0} a_k) [/mm] * [mm] (\sum_{l \ge 0} b_l) [/mm] konvergiert.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:41 Mo 05.10.2015 | | Autor: | fred97 |
Das Entscheidende hast Du gesagt: alle Produktreihen haben den selben Grenzwert !
Wir wählen eine spezielle Produktreihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty}q_k [/mm] , indem wir die Produkte [mm] a_jb_k [/mm] "nach Quadraten anordnen":
[mm] q_0:=a_0b_0, q_1:=a_0b_1, q:=a_1bb_1, q_3:=a_1b_0, q_4:=a_0b_2, q_5:=a_1b_2,q_6:=a_2b_2,q_7:=a_2b_1,q_8:=a_2b_0, [/mm] .....
Mach Dir eine Skizze !
Sei [mm] Q_n:=\summe_{k=0}^{n}q_k. [/mm] Dann gilt (nachrechnen):
[mm] Q_{(n+1)^2-1}=(a_0+a_1+...+a_n)(b_0+b_1+...+b_n)
[/mm]
Wir haben
$ [mm] \sum_{k = 0}^{\infty} c_k =\summe_{k=0}^{\infty}q_k=\limes_{n\rightarrow\infty}Q_n=\limes_{n\rightarrow\infty} Q_{(n+1)^2-1}= (\sum_{k = 0}^{\infty} a_k)*( \sum_{k = 0}^{\infty} b_k)$
[/mm]
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:42 Mi 21.10.2015 | | Autor: | sissile |
> Das Entscheidende hast Du gesagt: alle Produktreihen haben
> den selben Grenzwert !
>
> Wir wählen eine spezielle Produktreihe
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}q_k[/mm] , indem wir die Produkte [mm]a_jb_k[/mm]
> "nach Quadraten anordnen":
>
> [mm]q_0:=a_0b_0, q_1:=a_0b_1, q:=a_1bb_1, q_3:=a_1b_0, q_4:=a_0b_2, q_5:=a_1b_2,q_6:=a_2b_2,q_7:=a_2b_1,q_8:=a_2b_0,[/mm]
> .....
>
> Mach Dir eine Skizze !
Skizze steht ;)
> Sei [mm]Q_n:=\summe_{k=0}^{n}q_k.[/mm] Dann gilt (nachrechnen):
>
> [mm]Q_{(n+1)^2-1}=(a_0+a_1+...+a_n)(b_0+b_1+...+b_n)[/mm]
Per Induktion?
Für n=0: [mm] Q_0 [/mm] = [mm] q_0 [/mm] = [mm] a_0 [/mm] * [mm] b_0
[/mm]
Für n sei Behautung gültig.
ZZ für n+1:
[mm] (a_0+..+a_n+a_{n+1})*(b_0+..+b_n+b_{n+1})= Q_{(n+1)^2-1} [/mm] + [mm] a_{n+1}*(b_0+....+b_n)+a_{n+1} b_{n+1} [/mm] + [mm] (a_0+..+a_n)*b_{n+1}
[/mm]
= [mm] Q_{(n+1)^2-1)} [/mm] + [mm] a_0 b_{n+1} [/mm] + [mm] a_1 b_{n+1} +..+a_n b_{n+1}+a_{n+1}b_{n+1} [/mm] + [mm] a_{n+1} b_n [/mm] + [mm] a_{n+1} b_{n-1} [/mm] + ... + [mm] a_{n+1} b_0
[/mm]
Es gilt [mm] q_{(n+1)^2} =a_0 b_{n+1}
[/mm]
Nach der Zeichnung wird klar, dass der Indizes [mm] (n+1)^2-1 [/mm] genau dem ersten Punkt im n-ten Qudrat entspricht.
Aber Zeichnungen sind fürs Verständniss super aber als Beweis reichen sie nicht?
Hättest du da einen Tipp?
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 23.10.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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