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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Sa 09.07.2011 | | Autor: | Braten |
Hallo,
Ich habe eine Frage bezüglich der Produkttopologie auf dem kartesischen Produkt von top. Räumen [mm] X_1 \times [/mm] ... [mm] \times X_n
[/mm]
1)
Gilt in endl. kartesischen Produkten stets diese Aussage:
U [mm] \subset X_1 \times [/mm] ... [mm] \times X_n [/mm] offen <=> U= [mm] U_1 \times [/mm] ... [mm] \times U_n [/mm] mit [mm] U_i [/mm] offen in [mm] X_i [/mm] ?
2)
Ich glaube in unendlichen Produkten gilt das nicht. Warum nicht?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Sa 09.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich habe eine Frage bezüglich der Produkttopologie auf dem
> kartesischen Produkt von top. Räumen [mm]X_1 \times[/mm] ... [mm]\times X_n[/mm]
>
> 1)
> Gilt in endl. kartesischen Produkten stets diese Aussage:
> U [mm]\subset X_1 \times[/mm] ... [mm]\times X_n[/mm] offen <=> U= [mm]U_1 \times[/mm]
> ... [mm]\times U_n[/mm] mit [mm]U_i[/mm] offen in [mm]X_i[/mm] ?
Das ist Falsch, es gilt nur die Implikation [mm] "$\Leftarrow$".
[/mm]
Betrachte z.B. eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] der Diagonalen [mm] $\{ (x, x) \mid x \in \IR \}$ [/mm] in [mm] $\IR^2$. [/mm] Diese ist offen, kann jedoch nicht als direktes Produkt $A [mm] \times [/mm] B$ mit $A, B [mm] \subseteq \IR$ [/mm] geschrieben werden.
> 2)
> Ich glaube in unendlichen Produkten gilt das nicht. Warum
> nicht?
Weil es in endlichen Produkten bereits nicht gilt.
LG Felix
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