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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Do 04.11.2010 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | Man berechne:
[mm] a)\produkt_{i=1}^{n}\bruch{i+1}{i}
[/mm]
[mm] b)\summe_{i=1}^{100}\bruch{1}{i(i+2)}+\summe_{j=2}^{100}\bruch{1}{j^2-1} [/mm] |
Guten!
Wie soll ich denn a) berechnen, wenn ich n nicht kenne?
Erstmal steht da ja [mm] \produkt_{i=1}^{n}\bruch{i+1}{i}=2*\bruch{3}{2}*\bruch{4}{3}*\bruch{5}{4}*\bruch{6}{5}*...*\bruch{n+1}{n}.
[/mm]
Wobei der letzte Faktor für [mm] n\to\infty [/mm] gegen 1 strebt. Aber danach ist ja nicht gefragt.
Hat jemand eine Idee, was man hier wissen wollen könnte?
Schöne Grüße, stffn.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Do 04.11.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Man berechne:
>
> [mm]a)\produkt_{i=1}^{n}\bruch{i+1}{i}[/mm]
>
> [mm]b)\summe_{i=1}^{100}\bruch{1}{i(i+2)}+\summe_{j=2}^{100}\bruch{1}{j^2-1}[/mm]
>
> Guten!
>
> Wie soll ich denn a) berechnen, wenn ich n nicht kenne?
Natürlich kann das Ergebnis nur in Abhänigkeit von n angegeben werden.
> Erstmal steht da ja
> [mm]\produkt_{i=1}^{n}\bruch{i+1}{i}=2*\bruch{3}{2}*\bruch{4}{3}*\bruch{5}{4}*\bruch{6}{5}*...*\bruch{n+1}{n}.[/mm]
Das sieht doch schon ganz gut aus.
Einfach kürzen, so viel es geht. Dann bleibt übrig ...
> Wobei der letzte Faktor für [mm]n\to\infty[/mm] gegen 1 strebt.
> Aber danach ist ja nicht gefragt.
> Hat jemand eine Idee, was man hier wissen wollen könnte?
>
> Schöne Grüße, stffn.
>
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Do 04.11.2010 | | Autor: | stffn |
AChso!
Dann müsste das Ergebnis doch (n+1) sein!?
Alles was davor steht und das was im letzten Nenner steht kürzt sich ja weg.
Ich schreib dann nochmal mein Lösungsvorschlag für b), da bin ich mir nicht ganz sicher:
[mm] \summe_{i=1}^{100}\bruch{1}{i(i+2)}+\summe_{j=2}^{100}\bruch{1}{j^2-1}=\summe_{i=2}^{101}\bruch{1}{i^2-1}+\summe_{j=2}^{100}\bruch{1}{j^2-1} [/mm]
[mm] =\bruch{1}{101^2-1}+\summe_{j=2}^{10}\bruch{1}{j^2-1}+\summe_{j=2}^{100}\bruch{1}{j^2-1}=\bruch{1}{101^2-1}=\bruch{1}{10200}
[/mm]
Ist das richtig mit der Indexverschiebung?
Und danke für die schnelle Antwort!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Do 04.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> AChso!
> Dann müsste das Ergebnis doch (n+1) sein!?
Bingo
> Alles was davor steht und das was im letzten Nenner steht
> kürzt sich ja weg.
>
> Ich schreib dann nochmal mein Lösungsvorschlag für b), da
> bin ich mir nicht ganz sicher:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{100}\bruch{1}{i(i+2)}+\summe_{j=2}^{100}\bruch{1}{j^2-1}=\summe_{i=2}^{101}\bruch{1}{i^2-1}+\summe_{j=2}^{100}\bruch{1}{j^2-1}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{101^2-1}+\summe_{j=2}^{10}\bruch{1}{j^2-1}+\summe_{j=2}^{100}\bruch{1}{j^2-1}=\bruch{1}{101^2-1}=\bruch{1}{10200}[/mm]
>
> Ist das richtig mit der Indexverschiebung?
>
> Und danke für die schnelle Antwort!!
Lies doch mal die Antwort vom Roadrunner !!
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:06 Do 04.11.2010 | | Autor: | stffn |
Sorry, ich habe einen Fehler in der Aufgabe gemacht, anstatt - habe ich + geschrieben. Also eigentlich heißt meine Rechnung:
[mm] \summe_{i=1}^{100}\bruch{1}{i(i+2)} [/mm] - [mm] \summe_{j=2}^{100}\bruch{1}{j^2-1}=\summe_{i=2}^{101}\bruch{1}{i^2-1} [/mm] - [mm] \summe_{j=2}^{100}\bruch{1}{j^2-1}=\bruch{1}{101^2-1}+\summe_{j=2}^{100}\bruch{1}{j^2-1} [/mm] - [mm] \summe_{j=2}^{100}\bruch{1}{j^2-1}=\bruch{1}{101^2-1}=\bruch{1}{10200}
[/mm]
Ist das so vielleicht dann doch richtig? Weil partialbruchzerlegung kenne ich zwar, wurde aber noch nicht durchgenommen. Deshalb muss es eigentlich noch einen anderen Weg geben.
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Hallo stffn!
> [mm]b)\summe_{i=1}^{100}\bruch{1}{i(i+2)}+\summe_{j=2}^{100}\bruch{1}{j^2-1}[/mm]
Unterziehe hier beide Brüche jeweils einer  Partialbruchzerlegung. Anschließend kann man gut zusammenfassen.
Gruß vom
Roadrunner
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