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| Aufgabe | Ges.: Projektion von a1 auf span {a2,a3}
a1 [mm] \vektor{0 \\0 \\ 0\\ 1}, [/mm]
a2 [mm] \vektor{0 \\0 \\ 1\\ 1}, [/mm]
a3 [mm] \vektor{0 \\1 \\ 1\\ 1}, [/mm]
Lösung: p (projektion) = [mm] 0,5*\vektor{0 \\0\\ 1\\ 1}+ [/mm] |
Hallo:
Ich habe drei Fragen:
1. Stimmt diese Lösungsangabe?
2.Muss ich bei Projektion IMMER vorher Normiert haben? Habe es so verstanden: Es gibt Projektion und orthogonal-projektion. Bei beiden muss man normierte Vektoren haben, aber bei der zweiten Variante müssen sie auch noch orthogonal sein...richtig?
3. Wenn ich das normiere, dann bekomme ich als Vorfaktoren für a2= [mm] -->1/\wurzel{2} [/mm] und a3 [mm] -->1/\wurzel{3}
[/mm]
Somir wäre mein Ergebnis:
p (projektion) = 0,5* [mm] \vektor{0 \\0\\ 1\\ 1}+ [/mm] (1/3)* [mm] \vektor{0 \\1 \\ 1\\ 1}, [/mm]
Es scheint also, als ob der "zweite" Teil wegfallen würde...dann wäre meine Lösung identisch...Aber wo ist der Rechenfehler?!Das Skalarprodukt aus a1 und a3 kann ja garnicht Null sein, weil der letzte Eintrag ja bei beiden 1 lautet....und a3 ist ja nun auch definitiv kein nullvektor?!
Ich bin verwirrt....
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Hi Loewenzahn,
du benötigst eine Orthonormalenbasis [mm] \{u_1,u_2\}[/mm] von
[mm] span(a_2,a_3) [/mm] (Stichwort Gram-Schmidt). Dann ist die Projektion von [mm] a_1[/mm]
auf [mm] span(a_2,a_3)[/mm] erklärt durch
[mm] Pa_1=(a_1,u_1)u_1+(a_1,u_2)u_2[/mm]
Beste Grüße
Der Spunk
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Hm, ich habe jetzt nochmal das Stichwort nachgeguckt, glaube ich habe es geschnallt. Jetzt habe ich nochmal eine Rückfrage, weil Formalismen doch rec ht tükisch sind für mich:
Wenn ich nun die Projektion auf einen VEKTOR suche, so muss ich den Vektor, auf den projeziert werden soll, NORMALISIEREN, oder? Quasi nur der erste Schritt vom Gram...? (Orthogonalisieren geht ja auch schlecht, wenn nur ein Vektor da ist)
Und es wird auch NUR das "umgewandelt", "worein" ich projezieren möchte, oder? Mein zu projezierender Vektor würde auch so verwendet werden, wenn er (3/2/1/0) lauten würden, gell?
....Iwie hab ich da wohl ein bissl geschlafen...aber viel erschreckender ist, dass wir es nie verwenden mussten...Aber jetzt bin ich ja schlauer....
Danke!
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> Wenn ich nun die Projektion auf einen VEKTOR suche, so muss
> ich den Vektor, auf den projeziert werden soll,
> NORMALISIEREN, oder?
Hallo,
ja. Das Skalarprodukt liefert Dir dann die Länge der Prokektion des einen Vektors auf den normierten.
> Und es wird auch NUR das "umgewandelt", "worein" ich
> projezieren möchte, oder? Mein zu projezierender Vektor
> würde auch so verwendet werden, wenn er (3/2/1/0) lauten
> würden, gell?
Ja.
Denn Du willst ja die Länge seiner Projektion wissen, da wäre es unklug, ihn vorher zu verkürzen.
Es ist ja [mm] \vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}|*|\vec{b}|*cos(\alpha), [/mm] wobei [mm] \alpha [/mm] der von den Vektoren eingeschlossene Winkel ist.
Wenn nun [mm] \vec{b} [/mm] ein normierter Vektor ist, hast Du [mm] \vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}|*cos(\alpha), [/mm]
und [mm] |\vec{a}|*cos(\alpha) [/mm] ist gerade die Länge der Projektion von [mm] \vec{a} [/mm] auf [mm] \vec{b}, [/mm] was Du Dir an einem Bildchen verdeutlichen kannst.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:39 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Loewenzahn |
Alles klar, dankesehr!
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