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| Aufgabe | Eine gerade quadratische Pyramide sei durch folgende Angaben gegeben:
- Eckpunkt der Grundfläche A = (-4, -3, 7)
- Spitze der Pyramide S = (8, 9, 10)
- Normalenvektor der Grundfläche n = (2, 2, -1)
a) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene, in der die Grundfläche der Pyramide liegt.
b) Bestimmen Sie die Projektion S* von S auf die Grundfläche.
c) Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide |
Guten Tag,
ich komme bei der Teilaufgabe b), der Projektion, leider nicht weiter.
Aber erst mal von vorne.
a) n ist gegeben, Punkt auf der Ebene ist gegeben ->
[mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ -1} [/mm] * [ [mm] \vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{-4 \\ -3 \\ 7}]
[/mm]
Überlegungen zu c):
V = 1/3 A * h
A ist |n|
h ist der Abstand S* zu S
oder auch: Abstand S zur Ebene
|n| = [mm] \wurzel{2^2+2^2+(-1)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{9} [/mm] = 3
n normiert -> [mm] \bruch{1}{3}*\vec{n}
[/mm]
Punkt S in die HNF der Ebene eingesetzt und ausgerechnet:
d = 45 = h
V = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * 3 * 45 = 45 VE
Das deckt sich aber nicht mit dem Ergebnis von 720 VE. Wo liegt mein Fehler?
Und wie gelingt mir b), die Projektion auf die Grundfläche?
Liebe Grüße,
Pingumane
Edit: Bezeichnung S korrigiert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Mi 08.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Eine gerade quadratische Pyramide sei durch folgende
> Angaben gegeben:
>
> - Eckpunkt der Grundfläche A = (-4, -3, 7)
> - Spitze der Pyramide D = (8, 9, 10)
> - Normalenvektor der Grundfläche n = (2, 2, -1)
>
> a) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene, in der die
> Grundfläche der Pyramide liegt.
>
> b) Bestimmen Sie die Projektion S* von S auf die
> Grundfläche.
Was ist S ? Ist S=D ?
>
> c) Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide
> Guten Tag,
>
> ich komme bei der Teilaufgabe b), der Projektion, leider
> nicht weiter.
>
> Aber erst mal von vorne.
>
> a) n ist gegeben, Punkt auf der Ebene ist gegeben ->
>
> [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ -1}[/mm] * [ [mm]\vec{x}[/mm] -
> [mm]\vektor{-4 \\ -3 \\ 7}][/mm]
O.K.
>
> Überlegungen zu c):
>
> V = 1/3 A * h
>
> A ist |n|
Hä ? Wie kommst Du darauf ??
FRED
> h ist der Abstand S* zu S
> oder auch: Abstand S zur Ebene
>
> |n| = [mm]\wurzel{2^2+2^2+(-1)^2}[/mm] = [mm]\wurzel{9}[/mm] = 3
>
> n normiert -> [mm]\bruch{1}{3}*\vec{n}[/mm]
>
> Punkt S in die HNF der Ebene eingesetzt und ausgerechnet:
> d = 45 = h
>
> V = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * 3 * 45 = 45 VE
>
> Das deckt sich aber nicht mit dem Ergebnis von 720 VE. Wo
> liegt mein Fehler?
>
> Und wie gelingt mir b), die Projektion auf die
> Grundfläche?
>
>
> Liebe Grüße,
> Pingumane
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Ja, da habe ich mich vertippt. Die Spitze ist S, nicht D.
Der Betrag des Kreuzproduktes zweier Vektoren ergibt doch den orientierten Flächeninhalt der aufgespannten Fläche.
Der Normalenvektor ist genau das Kreuzprodukt. Also habe ich davon den Betrag gebildet.
Ist das falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Mi 08.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ja, da habe ich mich vertippt. Die Spitze ist S, nicht D.
>
> Der Betrag des Kreuzproduktes zweier Vektoren ergibt doch
> den orientierten Flächeninhalt der aufgespannten Fläche.
Kreuzprodukt welcher Vektoren ?
FRED
>
> Der Normalenvektor ist genau das Kreuzprodukt. Also habe
> ich davon den Betrag gebildet.
> Ist das falsch?
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Die Vektoren, welche die Ebene der Grundfläche aufspannen.
Die sind nicht explizit gegeben; aber deren Kreuzprodukt, der Normalenvektor.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Mi 08.07.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das Kreuzprodukt der 2 Grundseiten hat die Richtung des Normalenvektors, aber es gibt viele Normalenvektoren und nicht nur den!
Wenn du dir die Strecke AS berechnest, und dann mal aufzeichnest, kannst du direkt sehen, dass der gegebene Normalenvektor sicher nicht den Betrag der Grundflaeche angeben kann
aber die Gerade durch S in Normalenrichtung schneidet E in dem Projetionspunkt. damit hast du die Mitte des Quadrates, und kannst die Laenge der Diagonalen aus AS^* bestimmen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Mi 08.07.2015 | | Autor: | Pingumane |
Okay, dann auf:
Ich habe die Ebene in Koordinatenform umgeschrieben:
2x + 2y - z = -21
Die Gerade, welche durch den Aufpunkt S und den Richtungsvektor n gegeben ist, in diese Gleichung einsetzen.
[mm] \lambda [/mm] = -5
In die Geradengleichung -> Schnittpunkt [mm] \vektor{-2 \\ -1 \\ 15}.
[/mm]
Danke für den Hinweis!
Und jetzt verstehe ich auch, worauf ihr hinauswollt. Ja, meine Annahme war etwas naiv :D
Zum Volumen:
Mit bekanntem S* ermittelt man die Diagonale mit [mm] 2*|\overline{AS^*}|
[/mm]
A = [mm] \bruch{d^2}{2} [/mm] = 144
Höhe h ermittelt man durch [mm] |\overline{SS^*}| [/mm] = 15
V = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * A * h = 720 VE
Vielen Dank!
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