Projektion , Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Sa 04.06.2011 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | | Die Projektionen [mm] $\Pi_1:\IR^2 \to \IR$ [/mm] und [mm] $\Pi_2:\IR^2 \to \IR$ [/mm] seien definiert durch [mm] $\Pi_1(x,y):=x$ [/mm] und [mm] $\Pi_2(x,y):=y$. [/mm] Zeigen sie durch explizite Anwendung des [mm] $\epsilon -\delta$-Kriteriums, [/mm] dass diese Abbildungen (bzgl [mm] $||.||_\infty$) [/mm] stetig sind. |
Meine Lösung:
[mm] $\epsilon [/mm] >0$ sei gegeben.
Dann suche ich ein [mm] $\delta$ [/mm] für alle [mm] $(x,y)\in \IR^2$ [/mm] mit
[mm] $max\{|x-x_0|,|y-y_0|\}\le \delta \to max\{|\Pi(x,y)-\Pi(x_0,y_0)|\}\le \epsilon$ [/mm]
Es gilt:
[mm] $|x-x_0|=max\{|x-x_0|\}\le max\{|x-x_0|,|y-y_0|\}\le \delta$
[/mm]
Setze [mm] $\delta [/mm] = [mm] \epsilon$
[/mm]
Somit ist die Bedingung erfüllt.
Passt das so?
Danke und lg :)
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Moin nhard,
> Die Projektionen [mm]\Pi_1:\IR^2 \to \IR[/mm] und [mm]\Pi_2:\IR^2 \to \IR[/mm]
> seien definiert durch [mm]\Pi_1(x,y):=x[/mm] und [mm]\Pi_2(x,y):=y[/mm].
> Zeigen sie durch explizite Anwendung des [mm]\epsilon -\delta[/mm]-Kriteriums,
> dass diese Abbildungen (bzgl [mm]||.||_\infty[/mm]) stetig sind.
> Meine Lösung:
>
> [mm]\epsilon >0[/mm] sei gegeben.
>
> Dann suche ich ein [mm]\delta[/mm] für alle [mm](x,y)\in \IR^2[/mm] mit
>
> [mm]max\{|x-x_0|,|y-y_0|\}\le \delta \to max\{|\Pi(x,y)-\Pi(x_0,y_0)|\}\le \epsilon[/mm]
Ich nehme mal an, du betrachtest o.E. nur die Abbildung [mm] \Pi=\Pi_1
[/mm]
Anmerkung: Den Beweis kann man hier so führen, da sogar gleichmäßige Stetigkeit vorliegt. I. A. kann [mm] \delta [/mm] auch vom Punkt [mm] \vec{x} [/mm] abhängen, in dem auf Stetigkeit untersucht wird.
>
>
> Es gilt:
>
> [mm]|x-x_0|=max\{|x-x_0|\}\le max\{|x-x_0|,|y-y_0|\}\le \delta[/mm]
>
>
> Setze [mm]\delta = \epsilon[/mm]
>
> Somit ist die Bedingung erfüllt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Passt das so?
>
> Danke und lg :)
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 Sa 04.06.2011 | | Autor: | nhard |
Danke für deine Antwort :)
Ja, habe ich ganz vergessen zu schreiben dass [mm] $\Pi=\Pi_1$ [/mm] war.
Der Beweis für [mm] $\Pi_2$ [/mm] geht ja analog.
lg
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