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| Aufgabe | Es sei V ein beliebiger K-Vektorraum.
Die Menge aller Projektionen von V werde mit [mm] \Pi, [/mm] die Menge aller direkten Zerlegungen von V mit [mm] \mathcal{Z} [/mm] bezeichnet.
Man zeige:
Die Abbildung [mm] \varphi [/mm] : [mm] \Pi\rightarrow\mathcal{Z} [/mm] , [mm] \pi\mapsto(Kern \pi, [/mm] Bild [mm] \pi) [/mm] ist eine Bijektion. |
Hallo liebes Forum,
ich hänge bei der o.g. Aufgabe fest. Es ist also zu zeigen, daß [mm] \varphi [/mm] injektiv und surjektiv bzgl. [mm] \mathcal{Z} [/mm] ist. Die Surjektivität habe ich bereits bewiesen, aber bei der Injektivität hakt's.
Bisheriger Ansatz:
[Zu zeigen (*): [mm] \forall\pi_1, \pi_2\in\Pi [/mm] : (Kern [mm] \pi_1, [/mm] Bild [mm] \pi_1) [/mm] = (Kern [mm] \pi_2, [/mm] Bild [mm] \pi_2) \rightarrow \pi_1 [/mm] = [mm] \pi_2.]
[/mm]
Seien also [mm] \pi_1,\pi_2\in\Pi [/mm] mit Kern [mm] \pi_1 [/mm] = Kern [mm] \pi_2 [/mm] und Bild [mm] \pi_1 [/mm] = Bild [mm] \pi_2 [/mm] (**).
Offensichtlich gilt Def [mm] \pi_1 [/mm] = V = Def [mm] \pi_2. [/mm] Wir haben also wegen (*) zu zeigen, daß für alle [mm] x\in [/mm] V gilt: [mm] x\pi_1 [/mm] = [mm] x\pi_2.
[/mm]
Sei also [mm] x\in [/mm] V.
[Es gilt nach Voraussetzung: Kern [mm] \pi_1 \oplus [/mm] Bild [mm] \pi_1= [/mm] V = Kern [mm] \pi_2 \oplus [/mm] Bild [mm] \pi_2.]
[/mm]
Wir unterscheiden die Fälle [mm] x\in [/mm] Kern [mm] \pi_1 [/mm] und [mm] x\in [/mm] Bild [mm] \pi_1.
[/mm]
Falls [mm] x\in [/mm] Kern [mm] \pi_1, [/mm] gilt wegen (**) auch [mm] x\in [/mm] Kern [mm] \pi_2, [/mm] also [mm] x\pi_1 [/mm] = 0 = [mm] x\pi_2
[/mm]
Das ist der einfache Fall. Knifflig ist aber der Fall [mm] x\in [/mm] Bild [mm] \pi_1. [/mm] Dann weiß ich wegen (*), daß x auch in Bild [mm] \pi_2 [/mm] enthalten ist. Daraus folgt aber natürlich noch nicht die Gleichheit [mm] x\pi_1 [/mm] = [mm] x\pi_2.
[/mm]
Mein "Bauchgefühl" sagt mir, daß die Itempotenz der Pojektionen [mm] \pi_1, \pi_2 [/mm] in diesen Fall einfließt, aber ich krieg's nicht hin :(
Hat jemand einen hilfreichen Tipp?
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 Fr 19.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Du brauchst noch folgendes:
Ist P:V-->V eine Projektion, also [mm] $P^2=P$, [/mm] so gilt:
BildP = { x [mm] \in [/mm] V: Px=x }
Trivial ist die Implikation Px=x [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] BildP.
Sei x [mm] \in [/mm] BildP, also x=Py für ein y [mm] \in [/mm] V. Dann ist x = [mm] P^2 [/mm] y = P(Py) = Px
FRED
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Hallo FRED,
- SUPER, das war genau das Puzzlestück, das mir fehlte! 
Großes DANKE!!!!!!
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