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| Aufgabe | Aufgabe 1: (homogene Koordinaten auf der projektiven Geraden)
Geben Sie die Koordinaten von jeweils fünf Punkten der Ebene an, die in der Äquivalenzklasse der folgenden Punkte der projektiven Geraden liegen: P0, P1, P∞ , P-2. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
Wir (Ich und mein Mitbewohner) bereiten uns gerade auf unsere Matheexamensprüfung vor und in unserer Vorlesung wurde das Thema projektive Geometrie kurz angeschnitten und es gab auch nur ein Übungsblatt dazu. Allerdings wurde dies für unsere Fotos erwähnt, also müssen wir uns wohl oder übel damit beschäftigen:
Wir haben es soweit verstanden, dass die Po = der Y-Achse ist, die P1 eine Gerade der Gleichung y=1 und P∞ ein Fernpunkt von P1 und der X-Achse, allerdings haben wir das Schema hiervon noch nicht wirklich ganz durchschaut, leider hat uns unsere Vorlesung und ein Buch uns auch nicht nähere Einblicke gewährt, von daher wollten wir hier fragen, wie es vor sich geht - Beispielhaft an der oben erwähnten Aufgabe.
Wir hatten jetzt gedacht, dass alle Punkte, die z.B. in der Äquivalenzklasse von P1 liegen die Koordinaten [x, 1] haben, richtig? Allerdings erscheint uns dies schlicht zu einfach.
In einem anderen Beitrag hier im Forum haben wir gelesen, dass man normale Koordinaten in projektive z.B. mit P1 so umwandelt, in dem man durch den y-Wert teilt - dies würde ja gleichbedeutend damit sein, dass man lediglich einen Richtungsvektor vorgibt, vom Ursprung bis zur Geraden P1 und alle Punkte, die auf diesem Vektor * k (k ∊ R) liegen, sind in einer Äquivalenzklasse, ist das richtig?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Di 06.04.2010 | | Autor: | statler |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Aufgabe 1: (homogene Koordinaten auf der projektiven
> Geraden)
> Geben Sie die Koordinaten von jeweils fünf Punkten der
> Ebene an, die in der Äquivalenzklasse der folgenden Punkte
> der projektiven Geraden liegen: P0, P1, P∞ , P-2.
> Wir (Ich und mein Mitbewohner) bereiten uns gerade auf
> unsere Matheexamensprüfung vor und in unserer Vorlesung
> wurde das Thema projektive Geometrie kurz angeschnitten und
> es gab auch nur ein Übungsblatt dazu. Allerdings wurde
> dies für unsere Fotos erwähnt, also müssen wir uns wohl
> oder übel damit beschäftigen:
>
> Wir haben es soweit verstanden, dass die Po = der Y-Achse
> ist, die P1 eine Gerade der Gleichung y=1 und P∞ ein
> Fernpunkt von P1 und der X-Achse, allerdings haben wir das
> Schema hiervon noch nicht wirklich ganz durchschaut, leider
> hat uns unsere Vorlesung und ein Buch uns auch nicht
> nähere Einblicke gewährt, von daher wollten wir hier
> fragen, wie es vor sich geht - Beispielhaft an der oben
> erwähnten Aufgabe.
Normalerweise macht man das so, daß man die Ebene ohne den Ursprung betrachtet und als Äquivalenzklassen die Geraden durch den Ursprung nimmt, also (x, y) [mm] \sim [/mm] (u, v) [mm] \gdw [/mm] (x, y) = [mm] \lambda*(u, [/mm] v) mit [mm] \lambda \not=0.
[/mm]
> Wir hatten jetzt gedacht, dass alle Punkte, die z.B. in der
> Äquivalenzklasse von P1 liegen die Koordinaten [x, 1]
> haben, richtig? Allerdings erscheint uns dies schlicht zu
> einfach.
P1 ist dann die Äquivalenzklasse von (x, x), also die Gerade y = x.
> In einem anderen Beitrag hier im Forum haben wir gelesen,
> dass man normale Koordinaten in projektive z.B. mit P1 so
> umwandelt, in dem man durch den y-Wert teilt - dies würde
> ja gleichbedeutend damit sein, dass man lediglich einen
> Richtungsvektor vorgibt, vom Ursprung bis zur Geraden P1
> und alle Punkte, die auf diesem Vektor * k (k ∊ R)
> liegen, sind in einer Äquivalenzklasse, ist das richtig?
Nicht ganz, dein P1 stimmt nicht. Du nimmst als projektive Punkte die Geraden durch den Ursprung und als jeweiligen Vertreter den Schnittpunkt mit y = 1.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hmm Ok, dann ist P1 also genau eine Äquivalenzklasse mit dem Vertreter [1,1] , richtig? Über diesen kann man dann ja mit [mm] \lambda [/mm] jeden Punkt erreichen, der auf der Geraden liegt und damit in der Äquivalenzklasse, oder?
Gibt dann P x den x-Wert des Punktes an und der dazugehörige y Wert ist immer 1? Dann würde das ja für die Aufgabe bedeuten, dass P -2 auf der Geraten f(x)=-1/2*x liegt, oder? Ist P [mm] \infty [/mm] dann der Fernpunkt mit dem x-Wert unendlich und dem x-Wert 1?
Dann wäre das ja cool, dann hätte ich das verstanden :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Di 06.04.2010 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Hmm Ok, dann ist P1 also genau eine Äquivalenzklasse mit
> dem Vertreter [1,1] , richtig? Über diesen kann man dann
> ja mit [mm]\lambda[/mm] jeden Punkt erreichen, der auf der Geraden
> liegt und damit in der Äquivalenzklasse, oder?
So isset.
> Gibt dann P x den x-Wert des Punktes an und der
> dazugehörige y Wert ist immer 1? Dann würde das ja für
> die Aufgabe bedeuten, dass P -2 auf der Geraten f(x)=-1/2*x
> liegt, oder?
P-2 liegt nicht auf dieser Geraden, sondern ist diese Gerade. Die diversen Vertreter liegen auf der Geraden (,wobei (0, 0) eben kein Vertreter ist).
> Ist P [mm]\infty[/mm] dann der Fernpunkt mit dem x-Wert
> unendlich und dem x-Wert 1?
Wahrscheinlich meinst du 'y-Wert 1'. Aber da [mm] \infty [/mm] keine Zahl ist, kannst du das so nicht machen. [mm] P\infty [/mm] ist die x-Achse, Vertreter ist z. B. (1, 0).
> Dann wäre das ja cool, dann hätte ich das verstanden :)
Projektive Geometrie ist mit das Kuhlste überhaupt :).
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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