Projektive Koordinaten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:36 Mo 16.10.2006 | | Autor: | RolandK |
| Aufgabe | Gegeben seien drei Punkte (in affinen Koordinaten): [mm] p_{1}=(0,0)^T, p_{2}=(3,0)^T, p_{3}=(0,2)^T.
[/mm]
Die drei Punkte [mm] p_{1}, p_{2}, p_{3} [/mm] bilden die Grundpunkte eines projektiven Koordinatensystems, [mm]e=(2,2)^T[/mm] sei (in affinen Koordinaten) der Einheitspunkt.
Bestimme die projektiven Koordinaten der beiden Punkte [mm] p_{4}=(-4,5)^T [/mm] und [mm] p_{5}=(1,3)^T [/mm] (jeweils in affinen Koordinaten angegeben) sowie die projektiven Koordinaten der Ferngerade. |
Guten Abend,
das ist mein erstes Posting in diesem sehr ansprechenden Forum. Ich hoffe, ich bin nicht zu langatmig in meinen Angaben 
Wir haben projektive Koordinaten wie folgt eingeführt:
Sei [mm]x=(x_{1},x_{2}^T) \in \IR^2[/mm], also ein Punkt der Ebene in affinen Koordinaten. Die projektiven Koordinaten [mm]\tilde x=(\tilde x_{0},\tilde x_{1},\tilde x_{2})^T[/mm] werden als lineare Funktionen der affinen Koordinaten eingeführt:
(*) [mm] \rho \vektor{\tilde x_{0}\\ \tilde x_{1} \\ \tilde x_{2}}=A \vektor{1\\x_{1}\\x_{2}} [/mm] mit [mm] A=\begin{pmatrix}{a_{00} & & \\ & \ddots & \\ & & a_{22}}\end{pmatrix}
[/mm]
Folgende Vorgangsweise haben wir uns überlegt:
Schritt 1:
Wähle reguläre Matrix [mm]A[/mm] beliebig, aber fest.
Schritt 2:
Ein Vektor [mm]\tilde x=(\tilde x_{0},\tilde x_{1},\tilde x_{2})^T[/mm] heißt projektiver Koordinatenvektor zu [mm]x=(x_{1},x_{2}^T)[/mm], falls es ein [mm] \rho [/mm] gibt, so dass (*) gilt.
Speziell für [mm]A=I_3[/mm] werden aus den projektiven Koordinaten homogene, das verstehe ich noch.
Meine Frage(n):
Ich verstehe nicht, wie ich obige Aufgabe lösen soll.
Kann ich tatsächlich eine beliebige Matrix A wählen und so "einfach" die projektiven Koordinaten ausrechnen?
Dann hätte es aber doch keinen Sinn, Grund- und Einheitspunkte explizit anzugeben. Das muss doch was mit der Wahl der Matrix auf sich haben, oder nicht?
Kann mir bitte jemand helfen, Ordnung in meine Gedanken zu bringen?
Ich habe diese Frage (ähnlich) auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt (am 16.10.2006 um 10:36 MESZ), aber bis jetzt keinerlei Antwort erhalten:
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=64381
So,
ich hoffe, ich hab jetzt alles richtig gemacht beim Posten.
Bin schon mal gespannt auf eure hilfreichen Tipps 
Roland K.
---------
Der Vollständigkeit halber führe ich noch die Links zu meinen Unterlagen an:
Ich besuche die Vorlesung "Einführung i.d. Geometrie". Wir haben bereits affine, baryzentrische, homogene und projektive Koordinaten eingeführt. Die Vorlesung hält sich eng ans Vorlesungsskript.
Bisher veröffentlichte Teile des Vorlesungsskripts zu Einführung i.d. Geometrie:
Teil 1: http://www.ag.jku.at/um/geo1-10.pdf
Teil 2: http://www.ag.jku.at/um/geo11-20.pdf
Übungsblatt mit fraglichem Beispiel (Nr. 5):
http://www.ag.jku.at/um/2006Geo01.pdf
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 01:40 Do 19.10.2006 | | Autor: | RolandK |
So, ich hab's jetzt einen Teil selber geschafft.
Die projektiven Koordinaten von (-4,5) bzw. (1,3) sind (1,-8,10) bzw. (5,2,6).
Dazu war das Lösen eines Gleichungssystems mit folgenden 12 Gleichungen und 13 Unbekannten nötig:
[mm] \rho_{1} \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = A [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \rho_{2} \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] = A [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 0}
[/mm]
[mm] \rho_{3} \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] = A [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
[mm] \rho_{4} \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = A [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 2}
[/mm]
Als Ergebnis erhalte ich
[mm]A = \rho \pmat{-6 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2}[/mm] mit beliebigem [mm] \rho \in \IR.
[/mm]
Somit kann ich mit (*) meine beiden Punkte p4 und p5 in projektive Koordinaten übersetzen.
Momentan bin ich noch am Überlegen, wie das mit der Ferngerade gehen könnte, vielleicht hat jmd. eine Idee...
Grüsse in die Nacht
Roland
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Sa 21.10.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
