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| Aufgabe | Untersuche, ob die Reihe konvergent oder divergent ist.
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{(\wurzel[3]{k+1})^k} [/mm] |
Hallo,
ich habe das Quotientenkriterium benutzt. Ich weiß, dass diese Reihe konvergiert, aber ich komme an einer Stelle nicht weiter. Es gilt ja | [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] | = [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] , da der Bruch immer positiv ist.
Also:
[mm] \bruch{k+1}{(\wurzel[3]{k+2})^{k+1}} [/mm] * [mm] \bruch{(\wurzel[3]{k+1})^k}{k}
[/mm]
= [mm] \bruch{k+1}{(\wurzel[3]{k+2})^k * \wurzel[3]{k+2}} [/mm] * [mm] \bruch{(\wurzel[3]{k+1})^k}{k}
[/mm]
Hier weiß ich nicht mehr, was ich machen soll. Könnte die Wurzel noch als Potenz aufschreiben, aber ich weiß nicht, ob das hilfreich ist. Ich wäre für einen Tipp dankbar.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 Mi 09.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Untersuche, ob die Reihe konvergent oder divergent ist.
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> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{(\wurzel[3]{k+1})^k}[/mm]
> Hallo,
> ich habe das Quotientenkriterium benutzt. Ich weiß, dass
> diese Reihe konvergiert, aber ich komme an einer Stelle
> nicht weiter. Es gilt ja | [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm] | =
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm] , da der Bruch immer positiv ist.
>
> Also:
>
> [mm]\bruch{k+1}{(\wurzel[3]{k+2})^{k+1}}[/mm] *
> [mm]\bruch{(\wurzel[3]{k+1})^k}{k}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{k+1}{(\wurzel[3]{k+2})^k * \wurzel[3]{k+2}}[/mm] *
> [mm]\bruch{(\wurzel[3]{k+1})^k}{k}[/mm]
>
> Hier weiß ich nicht mehr, was ich machen soll.
Geschickt zusammenfassen .....
> [mm]\bruch{k+1}{(\wurzel[3]{k+2})^k * \wurzel[3]{k+2}}[/mm] * > [mm]\bruch{(\wurzel[3]{k+1})^k}{k}[/mm]=
$0 [mm] \le \bruch{a_{k+1}}{a_k} =\bruch{k+1}{k}*(\wurzel[3]{\bruch{k+1}{k+2}})^k*\bruch{1}{\wurzel[3]{k+2}} \le 2*1*\bruch{1}{\wurzel[3]{k+2}} \le \bruch{2}{\wurzel[3]{k}}$
[/mm]
Noch eine Bemerkung : mit [mm] a_k= \bruch{k}{(\wurzel[3]{k+1})^k} [/mm] ist es doch so, dass es hier, wegen der k-ten Potenz, ganz gewaltig nach Wurzelkriterium stinkt !!!
Damit sieht man ratzfatz: [mm] \wurzel[k]{|a_k|} \to [/mm] 0 für k [mm] \to \infty
[/mm]
FRED
> Könnte die
> Wurzel noch als Potenz aufschreiben, aber ich weiß nicht,
> ob das hilfreich ist. Ich wäre für einen Tipp dankbar.
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:43 Mi 09.12.2015 | | Autor: | X3nion |
> Noch eine Bemerkung : mit $ [mm] a_k= \bruch{k}{(\wurzel[3]{k+1})^k} [/mm] $ ist es doch so, dass es > hier, wegen der k-ten Potenz, ganz gewaltig nach Wurzelkriterium stinkt !!!
> Damit sieht man ratzfatz: $ [mm] \wurzel[k]{|a_k|} \to [/mm] $ 0 für k $ [mm] \to \infty [/mm] $
Es stinkt sogar so sehr, dass man fast Mundschutz braucht!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Mi 09.12.2015 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar, vielen Dank für die Antworten.
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