Prüfen ob Int. existiert < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Mo 01.06.2009 | | Autor: | xtraxtra |
| Aufgabe | Existiert das folgende Integral:
[mm] \integral_{0}^{\pi/2}1/sin(x)dx [/mm] |
Hi.
Ich habe also versucht das Inegral zu berchnen, für x=0 ist es ja leider nicht definiert, also handelt es sich schonmal um eine uneigentliches.
Dann habe ich versucht zu substituieren mit u=sin(x). Dann komme ich auf:
[mm] \integral_{0}^{1}\bruch{1}{u}*\bruch{1}{\wurzel{1-u²}}du
[/mm]
Hier habe ich aber wieder Definitionslücken bei 0 und 1. Also habe ich das Intgral besplittet:
[mm] \limes_{a\rightarrow 0}\integral_{a}^{c}\bruch{1}{u}*\bruch{1}{\wurzel{1-u²}}du+\limes_{b\rightarrow 1}\integral_{c}^{b}\bruch{1}{u}*\bruch{1}{\wurzel{1-u²}}du
[/mm]
Beim aussrechnen komme ich aber nicht wirklich weiter, weils mit der partiellen Integration immer komplizierter wird. Was mache ich flasch, oder muss ich hier vllt anders substituieren?
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> Existiert das folgende Integral:
> [mm]\integral_{0}^{\pi/2}1/sin(x)dx[/mm]
> Hi.
> Ich habe also versucht das Integral zu berchnen, für x=0
> ist es ja leider nicht definiert, also handelt es sich
> schonmal um eine uneigentliches.
> Dann habe ich versucht zu substituieren mit u=sin(x). Dann
> komme ich auf:
> [mm]\integral_{0}^{1}\bruch{1}{u}*\bruch{1}{\wurzel{1-u²}}du[/mm]
> Hier habe ich aber wieder Definitionslücken bei 0 und 1.
> Also habe ich das Integral besplittet:
> [mm]\limes_{a\rightarrow 0}\integral_{a}^{c}\bruch{1}{u}*\bruch{1}{\wurzel{1-u²}}du+\limes_{b\rightarrow 1}\integral_{c}^{b}\bruch{1}{u}*\bruch{1}{\wurzel{1-u²}}du[/mm]
>
> Beim ausrechnen komme ich aber nicht wirklich weiter,
> weils mit der partiellen Integration immer komplizierter
> wird. Was mache ich falsch, oder muss ich hier vllt anders
> substituieren?
Da nur gefragt ist, ob das Integral existiere, ist
eine konkrete Berechnung mittels einer Stammfunktion
gar nicht unbedingt notwendig.
Der Integrand [mm] \bruch{1}{sin(x)} [/mm] ist in jedem Intervall [mm] [\,a\,,\bruch{\pi}{2}\,] [/mm]
mit [mm] 0
auch integrierbar. Heikel ist einzig das Verhalten am
linken Rand, wenn man a gegen Null streben lässt.
Nun kann man verwenden, dass für sehr kleine |x|
sich sin(x) praktisch durch x ersetzen lässt (wobei
die Näherung umso besser wird, je kleiner |x| ist).
Deshalb ist die Frage nach der Existenz des vorlie-
genden Integrals gleichbedeutend mit der nach der
Existenz von [mm] $\integral_{0}^{a}\bruch{1}{x}\ [/mm] dx$
für ein (kleines oder größeres) positives a.
Zur Frage nach einer Substitution für die formale
Integration: ein Blick in eine Formelsammlung hat
mir gezeigt, dass es mit [mm] u\,=\,tan\left(\bruch{x}{2}\right) [/mm] wohl klappen
sollte.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Mo 01.06.2009 | | Autor: | xtraxtra |
Ok. Danke für den Tipp, ich versuche es also mal ohne Stammfunktion.
Deine Argumentation konnte ich nachvollziehen.
Ich kümmere mich also um [mm] \integral_{0}^{a}\bruch{1}{x}dx
[/mm]
[mm] =\limes_{b\rightarrow 0}\integral_{b}^{a}\bruch{1}{x}dx=\limes_{b\rightarrow 0}-\bruch{1}{2a}+\bruch{1}{2b} [/mm] => für b geht gegen 0 folgt divergenz. => [mm] \integral_{0}^{a}\bruch{1}{x}dx [/mm] existiert nicht, also existiert auch [mm] \integral_{0}^{\pi/2}\bruch{1}{sin(x)} [/mm] auch nicht.
Kann ich dann auch gleich sagen, dass [mm] \integral_{\pi/2}^{\pi}\bruch{1}{sin(x)} [/mm] auch nicht existiert, denn [mm] \integral_{0}^{\pi/2}\bruch{1}{sin(x)}=\integral_{\pi/2}^{\pi}\bruch{1}{sin(x)} [/mm] ?
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> Ok. Danke für den Tipp, ich versuche es also mal ohne
> Stammfunktion.
> Deine Argumentation konnte ich nachvollziehen.
> Ich kümmere mich also um [mm]\integral_{0}^{a}\bruch{1}{x}\ dx[/mm]
> [mm]=\limes_{b\rightarrow 0}\integral_{b}^{a}\bruch{1}{x}dx=\limes_{b\rightarrow 0}-\bruch{1}{2a}+\bruch{1}{2b}[/mm] ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Zuerst müsstest du da doch einmal eine Stamm-
funktion heranziehen ...
> Kann ich dann auch gleich sagen, dass
> [mm]\integral_{\pi/2}^{\pi}\bruch{1}{sin(x)}[/mm] auch nicht
> existiert, denn
> [mm]\integral_{0}^{\pi/2}\bruch{1}{sin(x)}=\integral_{\pi/2}^{\pi}\bruch{1}{sin(x)}\ ?[/mm]
Aus Symmetriegründen ist dieser Schluss richtig
(sofern eben das erste Integral nicht existiert).
LG
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> Stimmts jetzt so? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Jo.
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