Prüfung auf Linearität < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Mo 19.11.2007 | | Autor: | JanJan |
| Aufgabe | Welche der folgenden Abbildungen ist linear?
[mm] L_{1}:\IR_{\le2}[x] \to \IR_{\le2}[x], L_{1}(f)(x):= [/mm] xf'(x) - f(x)
[mm] L_{2}:\IR_{\le2}[x] \to \IR_{\le3}[x], L_{2}(f)(x):= f(x)\*f'(x) [/mm] - f(x)
[mm] L_{3}:\IR_{\le2}[x] \to \IR_{\le3}[x], L_{3}(f)(x):= (x^{3}-8) [/mm] + f(x)
[mm] L_{4}:\IR_{\le2}[x] \to \IR_{\le5}[x], L_{4}(f)(x):= (x^{3}-8)f(x)
[/mm]
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Ich habe raus, dass keine diese Abbildung linear ist.
Aber das kann ja wohl irgendwie nicht stimmen....
Hier meine Ansätze:
[mm] L_{1}(f)(\lambda [/mm] x) = [mm] (\lambda [/mm] x) [mm] f'(\lambda [/mm] x)- [mm] f(\lambda [/mm] x) = [mm] \lambda^{2}x [/mm] f'(x) - [mm] \lambda [/mm] f(x)
[mm] \not= \lambda L_{1}(f)(x) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] (xf'(x)-f(x)) = [mm] \lambda [/mm] x f'(x) - [mm] \lambda [/mm] f(x)
[mm] L_{2}(f)(\lambda [/mm] x) = [mm] f(\lambda x)\*f'(\lambda x)-f(\lambda [/mm] x) = [mm] \lambda^{2}\*f(x)\*f'(x)-\lambda\*f(x) [/mm] = [mm] \lambda\*f(x)(\lambda\*f'(x)-1) [/mm]
[mm] \not= \lambda L_{2}(f)(x)=\lambda(f(x)\*f'(x)-f(x)) [/mm] = [mm] \lambda\*f(x)\*(f'(x)-1)
[/mm]
[mm] L_{3}(f)(x)(\lambda x)=((\lambda x)^{3}-8)+f(x) [/mm] = [mm] \lambda^{3} x^{3} [/mm] - [mm] 8+\lambda [/mm] f(x)
[mm] \not= \lambda L_{3}(f)(x)= \lambda \* ((x^{3}-8+f(x)) [/mm] = [mm] \lambda x^{3}-8\lambda [/mm] + [mm] f(\lambda [/mm] x)
[mm] L_{4}(f)(\lambda [/mm] x)= [mm] ((\lambda x)^{3}-8)\*f(\lambda [/mm] x) [mm] =\lambda(((\lambda x)^{3}-8)f(x)) [/mm]
[mm] \not= \lambda L_{4}(f)(x) [/mm] = [mm] \lambda((x^{3}-8)f(x)) [/mm]
Hab ich dieses L(f)(x) richtig aufgefasst?
Kann mir bitte jemand helfen? Vielen Dank schon mal im Voraus :)
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Hallo Jan,
ja, in deiner letzten Frage liegt das Problem.
Die [mm] $L_i$ [/mm] bilden Funktionen auf Funktionen ab, genauer Polynome auf Polynome, die Argumente, die du in [mm] L_i [/mm] reinsteckst, sind also Polynome!!
Das heißt du musst die Linearität nicht bzgl. der "x" untersuchen, sondern bzgl. der Polynome.
Ich versuche das mal für die erste zu verdeutlichen:
[mm] $L_1 [/mm] : [mm] \IR_{\le 2}[x]\to \IR_{\le 2}[x]$ [/mm] mit [mm] $L_1\left(f(x)\right)=\underbrace{x\cdot{}f'(x)-f(x)}_{\in \IR_{\le 2}[x]}$
[/mm]
Also sei [mm] $\lambda\in\IR$
[/mm]
Dann ist [mm] $L_1(\red{(\lambda\cdot{}f)}(x))=x\cdot{}(\lambda\cdot{}f')(x)-(\lambda\cdot{}f)(x)=x\cdot{}\lambda\cdot{}f'(x)-\lambda\cdot{}f(x)=\lambda\cdot{}(x\cdot{}f'(x)-f(x))=\lambda\cdot{}L_1(f(x))$
[/mm]
Ebenso ist mit [mm] $f,g\in\IR_{\le 2}[x]$
[/mm]
[mm] $L_1((f+g)(x))=x(f+g)'(x)-(f+g)(x)=x(f'+g')(x)-(f+g)(x)=x(f'(x)+g'(x))-(f(x)+g(x))$
[/mm]
[mm] $=xf'(x)+xg'(x)-f(x)-g(x)=[xf'(x)-f(x)]+[xg'(x)-g(x)]=L_1(f(x))+L_1(g(x))$
[/mm]
Ok?
Versuch nun mal die anderen...
LG
schachuzipus
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