Prüfungsaufgaben Stochastik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eins vorweg: Ich bin einer der "schlimmen" User. Ich schreibe nächsten Dienstag eine Mathe-Wiederholungsklausur und habe erhebliche Probleme mit der Stochastik. Seit drei Wochen mache ich nichts anderes, aber außer "automatischem nachmachen" bleibt nichts hängen. Gerademal in der Kombinatorik bin ich einigermaßen sattelfest. Es ist grauenhaft aber ich muss irgendwie da durch. Bei sehr vielen Aufgaben haben mir Kommilitonen geholfen. Doch es sind ein paar übrig, zu denen keiner einen Rat weiß. Ich poste hier also wirklich nur ein paar Aufgaben und später vielleicht noch mal zwei und hoffe, dass sich irgendjemand erbarmt, mir diese als Beispielaufgaben mit einigermaßen verständlichem Lösungsweg zu lösen, den ich nachvollziehen kann. Ich kenne keinen mehr, den ich sonst noch fragen kann. Ich weiß dass das nicht im Sinne des Forums ist, aber ich weiß mir keinen anderen Rat. Ich danke schon mal jedem, der mir Zeit widmet! Vielleicht kann ich mich irgendwie revanchieren.
1.
Wie groß ich die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Familie mit 5 Kindern
a) 2 Kinder Mädchen sind
b) 5 Kinder Knaben sind
wenn die Wahrscheinlichkeit einer Mädchengeburt p=0,5 gesetzt wird?
Sieht mir nach Bernoulli, da nur zwei Fälle eintreten können: Junge oder Mädchen. Aber dann wirds auch schon finster.
2.
Ein Bäcker bekommt 4 Mehlsorten, die mit den Wkten.
0,1 ; 0,05 ; 0,2 ; 0,15
mangelhaft sind.
Er kann sein Brot nur verkaufen, wenn alle Sorten fehrfrei sind. Wie groß ist die Wkt., dass er sein Brot NICHT verkaufen kann?
Ist auf jedenfall zum Schluss eine Gegenwahrscheinlichkeit. Aber ansonsten: keinen Plan.
3.
Die Reparaturdauer X eines Maschinentyps ist expotentialverteilt mit der mittleren Reparaturzeit T=10 Stunden. Zu ermitteln sei:
a) der Parameter Lambda
b) Die Wkt., dass die Reparatur höchstens 8 Stunden dauert.
Laut Papula ist Lambda = 1/µ (Mittelwert), bzw. 1/Sigma (Standardabweichung). Mehr fällt mir nicht ein. Demnach müsste Lambda = 1/T sein, also 1/10? Aber das ist auch das Einzige, was mir irgendwie einfällt.
4.
An Werkstücken werden die Abweichungen vom Sollwert der Länge gemessen. Aus einer Stichprobe von 40 Teilen ergibt sich ein Stichprobenmittel von x = 18,35 mm und eine Stichprobenvarianz von s² = 23,33 mm². Die Grundgesamtheit wird als Normalverteilt N(µ,Sigma) vorrausgesetzt. Als Signifikanzniveau (wie bitte?) wird Lambda = 0,05 vorrausgesetzt.
Zu prüfen ist, ob µ wesentlich (signifikant) vom Sollwewrt µ0 = 20 abweicht.
5.
Der Kern eines Transformators besteht aus 25 Blechen mit je einer Isolierschicht (einseitig). Die Dicke der Bleche und der Isolierschichten seien unabhängige normalverteilte Zufallsgrößen Xi bzw. Yi mit i = 1, 2, 3, ..., 25. Der Erwartungswert betrage 0,88 mm bzw. 0,2 mm und die Standardabweichungen 0,04 mm bzw. 0,03 mm.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein blech mit Isolierschicht dicker ist als 1,04 mm?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Kern des Transformators dicker ist als die Öffnung mit 25,5 mm?
Also allein bei der Fragestellung zieht sich mir alles zusammen. Was bedeutet das? Wie lese ich daraus relevante Informationen ab? Ich verstehe Bahnhof.
Ich hoffe es ist niemand böse mit mir, aber das sind die Aufgaben, bei denen ich gar keinen Lösungsansatz finde :-( Mir ist Angst und Bange!
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Hallo Atomsprengkopf! (was für ein Name...)
Na gut. Dann versuche ich mal zu helfen. Ich möchte aber vorausschicken, dass ich den Eindruck habe, dass Du ein eher psychisches Problem mit Stochastik-Aufgaben hast. Das sind auch keine anderen Aufgaben als in der restlichen Mathematik. Vielleicht sind sie nur öfter mal als Textaufgaben verpackt. Aber ich glaube, Du kannst mehr als Du Dir zutraust.
> 1.
> Wie groß ich die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Familie
> mit 5 Kindern
> a) 2 Kinder Mädchen sind
> b) 5 Kinder Knaben sind
> wenn die Wahrscheinlichkeit einer Mädchengeburt p=0,5
> gesetzt wird?
>
> Sieht mir nach Bernoulli, da nur zwei Fälle eintreten
> können: Junge oder Mädchen. Aber dann wirds auch schon
> finster.
Lies Dir doch bitte mal das hier durch. Dann kannst Du vermutlich nachvollziehen, dass für a) das Ergebnis
[mm] $P(X=2)={5\choose 2}0,5^2\cdot 0,5^3=\frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}\cdot 0,5^5$ [/mm]
lautet. Vielleicht probierst Du damit b) noch mal selbst. Manchmal hilft es auch, einen Wahrscheinlichkeitsbaum zu zeichnen. Hier gibt es 5 Stufen, in jeder nur zwei Verzweigungen. Das kann man noch verantworten 
>
> 2.
> Ein Bäcker bekommt 4 Mehlsorten, die mit den Wkten.
> 0,1 ; 0,05 ; 0,2 ; 0,15
> mangelhaft sind.
> Er kann sein Brot nur verkaufen, wenn alle Sorten fehrfrei
> sind. Wie groß ist die Wkt., dass er sein Brot NICHT
> verkaufen kann?
Ich nenne [mm] $A_i$ [/mm] das Ereignis, dass Mehlsorte $i$ mangelhaft ist und gehe davon aus, dass diese Ereignisse unabhängig sind. Gesucht ist dann
[mm] $P(A_1^c\cap A_2^c\cap A_3^c\cap A_4^c)=P(A_1^c)\cdot P(A_2^c)\cdot P(A_3^c)\cdot [/mm] P( [mm] A_4^c)$
[/mm]
[mm] $=(1-P(A_1))\cdot(1-P(A_2))\cdot(1-P(A_3))\cdot(1-P(A_4))$
[/mm]
[mm] $=0,9\cdot 0,95\cdot 0,8\cdot [/mm] 0,85=0,5814$
Auch hier hilft ein Baumdiagramm sicherlich weiter.
> Ist auf jedenfall zum Schluss eine Gegenwahrscheinlichkeit.
> Aber ansonsten: keinen Plan.
>
>
> 3.
> Die Reparaturdauer X eines Maschinentyps ist
> expotentialverteilt mit der mittleren Reparaturzeit T=10
> Stunden. Zu ermitteln sei:
> a) der Parameter Lambda
> b) Die Wkt., dass die Reparatur höchstens 8 Stunden dauert.
>
> Laut Papula ist Lambda = 1/µ (Mittelwert), bzw. 1/Sigma
> (Standardabweichung). Mehr fällt mir nicht ein. Demnach
> müsste Lambda = 1/T sein, also 1/10? Aber das ist auch das
> Einzige, was mir irgendwie einfällt.
Ist doch völlig richtig, was Du schreibst. Nun schaust Du noch die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung nach. Die lautet
[mm] $F(x)=\left\{\begin{array}{cl}1-e^{-\lambda x} & \mbox{für } x\ge 0\\
0 & \mbox{sonst.}\end{array}\right.$
[/mm]
Da $F(x)$ nach Definition die Wahrscheinlichkeit [mm] $P(\{X\le x\})$ [/mm] angibt und [mm] $P(\{X\le 8\})$ [/mm] gesucht ist, musst Du nun lediglich $F(8)$ berechnen, um b) zu lösen.
> 4.
> An Werkstücken werden die Abweichungen vom Sollwert der
> Länge gemessen. Aus einer Stichprobe von 40 Teilen ergibt
> sich ein Stichprobenmittel von x = 18,35 mm und eine
> Stichprobenvarianz von s² = 23,33 mm². Die Grundgesamtheit
> wird als Normalverteilt N(µ,Sigma) vorrausgesetzt. Als
> Signifikanzniveau (wie bitte?) wird Lambda = 0,05
> vorrausgesetzt.
> Zu prüfen ist, ob µ wesentlich (signifikant) vom Sollwewrt
> µ0 = 20 abweicht.
Hier schaust Du in Deinen Unterlagen oder im WWW mal nach dem Stichwort "t-Test"; das ist ein Signifikanztest, der unter Normalverteilungsannahmen bei unbekannter Varianz zum Testen einer Hypothese bezüglich [mm] $\mu$ [/mm] verwendet wird. Das ist wirklich nicht schwer. Du kannst ja auch mal zu diesem Stichwort hier im Matheraum suchen und ähnliche Aufgaben anschauen.
Hier geht ja wohl eine neue Aufgabe los:
> Der Kern eines Transformators besteht aus 25 Blechen mit je
> einer Isolierschicht (einseitig). Die Dicke der Bleche und
> der Isolierschichten seien unabhängige normalverteilte
> Zufallsgrößen Xi bzw. Yi mit i = 1, 2, 3, ..., 25. Der
> Erwartungswert betrage 0,88 mm bzw. 0,2 mm und die
> Standardabweichungen 0,04 mm bzw. 0,03 mm.
> a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein
> blech mit Isolierschicht dicker ist als 1,04 mm?
> b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Kern
> des Transformators dicker ist als die Öffnung mit 25,5 mm?
Hier muss man wissen, dass die Summe von unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen wieder normalverteilt ist und sich die entsprechenden Erwartungswerte und Varianzen einfach zum neuen Erwartungswert und zur neuen Varianz der Summe addieren. Also konkret:
[mm] $X_1+Y_1\sim N(0,88+0,04,\sqrt{0,2^2+0,03^2})$, [/mm] d.h. [mm] $X_1+Y_1\sim N(0,92,\sqrt{0,0409})$
[/mm]
Gesucht ist nun [mm] $P(\{X_1+Y_1> 1,04\})$. [/mm] Das solltest Du mit Hilfe der Tabelle für die Normalverteilung lösen können.
In der b) geht es um die Summe [mm] $X_1+Y_1+\ldots+X_{25}+Y_{25}$. [/mm] Hierfür gilt analog
[mm] $X_1+Y_1+\ldots+X_{25}+Y_{25}\sim N(23,\sqrt{1,0225})$
[/mm]
(Erwartungswert und Varianz von einem Blech mit Isolierschicht werden jeweils mit 25 multipliziert.)
Viele Grüße
Brigitte
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 So 29.05.2005 | | Autor: | andibar |
Hallo!
Mir ist nur eine winzige Kleinigkeit aufgefallen> > Ein Bäcker bekommt 4 Mehlsorten, die mit den Wkten.
> > 0,1 ; 0,05 ; 0,2 ; 0,15
> > mangelhaft sind.
> > Er kann sein Brot nur verkaufen, wenn alle Sorten fehrfrei
> > sind. Wie groß ist die Wkt., dass er sein Brot NICHT
> > verkaufen kann?
> Hallo!
>
> Ich nenne [mm]A_i[/mm] das Ereignis, dass Mehlsorte [mm]i[/mm] mangelhaft ist
> und gehe davon aus, dass diese Ereignisse unabhängig sind.
> Gesucht ist dann
>
> [mm]P(A_1^c\cap A_2^c\cap A_3^c\cap A_4^c)=P(A_1^c)\cdot P(A_2^c)\cdot P(A_3^c)\cdot P( A_4^c)[/mm]
>
> [mm]=(1-P(A_1))\cdot(1-P(A_2))\cdot(1-P(A_3))\cdot(1-P(A_4))[/mm]
>
> [mm]=0,9\cdot 0,95\cdot 0,8\cdot 0,85=0,5814[/mm]
>
Das ist doch die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Sorten fehlerfrei sind. Gesucht ist aber doch die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Sorte mangelhaft ist, also: 1-0,5814=0,4186...
Ich hoffe, dass das nicht auch so gemeint war. 
Schöne Grüße
Andi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 So 29.05.2005 | | Autor: | Brigitte |
Hallo nochmal!
> Mir ist nur eine winzige Kleinigkeit aufgefallen> > Ein
> Bäcker bekommt 4 Mehlsorten, die mit den Wkten.
> > > 0,1 ; 0,05 ; 0,2 ; 0,15
> > > mangelhaft sind.
> > > Er kann sein Brot nur verkaufen, wenn alle Sorten fehrfrei
> > > sind. Wie groß ist die Wkt., dass er sein Brot NICHT
> > > verkaufen kann?
> > Hallo!
>
> >
> > Ich nenne [mm]A_i[/mm] das Ereignis, dass Mehlsorte [mm]i[/mm] mangelhaft ist
> > und gehe davon aus, dass diese Ereignisse unabhängig sind.
> > Gesucht ist dann
> >
> > [mm]P(A_1^c\cap A_2^c\cap A_3^c\cap A_4^c)=P(A_1^c)\cdot P(A_2^c)\cdot P(A_3^c)\cdot P( A_4^c)[/mm]
>
> >
> > [mm]=(1-P(A_1))\cdot(1-P(A_2))\cdot(1-P(A_3))\cdot(1-P(A_4))[/mm]
> >
> > [mm]=0,9\cdot 0,95\cdot 0,8\cdot 0,85=0,5814[/mm]
> >
> Das ist doch die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Sorten
> fehlerfrei sind. Gesucht ist aber doch die
> Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Sorte mangelhaft
> ist, also: 1-0,5814=0,4186...
Völlig richtig. Hier habe ich mich vertan.
Viele Grüße
Brigitte
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Hallo Brigitte und Andibar! Erstmal ganz lieben Dank! Mir fällt echt ein Stein vom Herzen. Ja, ich gebe zu, ich habe ein massives psychisches Problem mit der Stochastik-Prüfung. Na, ich habe mir das nicht ausgedacht, dass man nur zweimal antreten darf. Ich druck mir eure Hinweise aus und werde sie mir einverleiben.
Die Aufgaben 1 und 2 haben ich seit gestern übrigens tatsächlich aus eigener Kraft gelöst und das auch noch richtig!
Übrig bleibt noch eine Aufgabe, die ich hier mal mit dranklebe. Vielleicht habt ihr dazu noch eine Idee. Das ist die letzte Aufgabe in meinem Pool der prüfungsrelevanten.
6.
Für die Geburtsterminbestimmung bedienen sich die Mediziner u.a. der sogenannten Naegele-Regel. Danach beträgt der Termin der Geburt
282 ± x Tage nach dem ersten Tag der letzten Periode. Verwendet man die Normalverteilung mit µ = 282 Tage und δ = 10,82 Tage, dann erhält man zentrale Wahrscheinlichkeiten die sehr gut die beobachteten Häufigkeiten aproximieren. In welchem Bereich fallen mit diesen Vorraussetzungen 80% aller Geburten und in welchen 90%? (Angaben in ganzen Tagen)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 So 29.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Atomsprengkopf!
> 6.
> Für die Geburtsterminbestimmung bedienen sich die Mediziner
> u.a. der sogenannten Naegele-Regel. Danach beträgt der
> Termin der Geburt
> 282 ± x Tage nach dem ersten Tag der letzten Periode.
> Verwendet man die Normalverteilung mit µ = 282 Tage und
> δ = 10,82 Tage, dann erhält man zentrale
> Wahrscheinlichkeiten die sehr gut die beobachteten
> Häufigkeiten aproximieren. In welchem Bereich fallen mit
> diesen Vorraussetzungen 80% aller Geburten und in welchen
> 90%? (Angaben in ganzen Tagen)
Aus persönlicher thematischer Betroffenheit (noch 188 ausgerechnete Tage ) löse ich die die Aufgabe einmal, ganz ausführlich.
Gesucht ist dasjenige $x$ mit
$P(X [mm] \in [/mm] [282-x,282+x]) = 0.8$
[mm] $\Leftrightarrow \quad [/mm] P(-x [mm] \le [/mm] X-282 [mm] \le [/mm] x) = 0.8$
[mm] $\Leftrightarrow \quad [/mm] P(X-282 [mm] \le [/mm] x) - [mm] P(282\le [/mm] -x) = 0.8$
[mm] $\Leftrightarrow \quad [/mm] P [mm] \left( \frac{X-282}{10.82} \le \frac{x}{10.82} \right) [/mm] - P [mm] \left( \frac{X-282}{10.82} \le - \frac{x}{10.82} \right) [/mm] =0.8$
[mm] $\Leftrightarrow \quad \Phi \left( \frac{x}{10.82} \right) [/mm] - [mm] \Phi \left(- \frac{x}{10.82} \right) [/mm] = 0.8$
(wobei [mm] $\blue{\Phi}$ [/mm] die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist; beachte bitte, dass [mm] $\blue{\frac{X-282}{10.82}}$ [/mm] standardnormalverteilt ist)
[mm] $\Leftrightarrow \quad \Phi \left( \frac{x}{10.82} \right) [/mm] - [mm] \left[ 1 - \Phi \left( \frac{x}{10.82} \right) \right] [/mm] = 0.8$
[mm] $\Leftrightarrow \quad 2\Phi \left( \frac{x}{10.82} \right) [/mm] - 1=0.8$
[mm] $\Leftrightarrow \quad \Phi \left( \frac{x}{10.82} \right) [/mm] =0.9$.
Jetzt schaust du in einer Tabelle der Standardnormalverteilung nach, für welchen Wert [mm] $z_{0.9}$ [/mm] gilt:
[mm] $\Phi(z_{0.9})=0.9$.
[/mm]
Dann setzt du anschließend
[mm] $\frac{x}{10.82}=z_{0.9}$
[/mm]
und erhältst:
$x=10.82 [mm] \cdot z_{0.9}$.
[/mm]
Hast du alles verstanden? Wie lautet dein Endergebnis?
Und was bekommst du für das 90%-Konfidenzintervall raus?
Viele Grüße
Stefan
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Oh mein Gott! :-| Das wird wieder ne lange Nacht...
Ich werde so froh sein wenn das am Dienstag endlich vorbei ist! Ich nehm ne Bibel mit zu der Prüfung!
Stefan danke erstmal, ich habs mir erstmal ausgedruckt, aber auf deine Frage, ob ich das verstanden habe, kann ichnurantworten:
я понимаю вокзал!
Ich bete, dass dieser Mist endlich vorbei ist und ich wieder ein normales Leben führen kann, nicht bei Sonnenschein mir Feiertage in der Bude um die Ohren schlagen muss und ständig ein schlechtes Gewissen zu haben, nicht genug gemacht zu haben.
Erlösung!!! :-|
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