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hey, ich bereite mich zur Zeit auf die mündliche Prüfung in der Linearen Algebra vor. dabei bin ich bei einigen Sachen etwas unsicher, könntet ihr mir sagen, ob das so stimmt, bzw. ob noch was fehlt.
also wenn ich z.B. einen Körper mit neun Elementen konstruieren soll, reicht es dann aus, wenn ich
[mm] \IZ_{9} [/mm] und die dazu isomorphen Körper nehme, also [mm] (\IZ_{3})^{2} [/mm] quasi??
Oder wenn ich z.b. die abelschen Gruppen der Ordnung 20 auflisten soll, dann würde ich wieder sagen also zum einen [mm] \IZ_{20} [/mm] und dazu die isomorphen Gruppen, also mache ich eine Primfaktorzerlegung von 20: [mm] 20=2^{2}*5 [/mm] und setze dann dementsprechen [mm] \IZ_{2},\IZ_{2} [/mm] und [mm] \IZ_{5} [/mm] zusammen.
Mfg
picoolo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:34 So 09.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo picoolo!
> hey, ich bereite mich zur Zeit auf die mündliche Prüfung
> in der Linearen Algebra vor. dabei bin ich bei einigen
> Sachen etwas unsicher, könntet ihr mir sagen, ob das so
> stimmt, bzw. ob noch was fehlt.
>
> also wenn ich z.B. einen Körper mit neun Elementen
> konstruieren soll, reicht es dann aus, wenn ich
> [mm]\IZ_{9}[/mm] und die dazu isomorphen Körper nehme, also
> [mm](\IZ_{3})^{2}[/mm] quasi??
1. Weder [mm] $\IZ_9$ [/mm] noch [mm] $(\IZ_3)^2$ [/mm] sind Koerper.
2. [mm] $\IZ_9$ [/mm] und [mm] $(\IZ_3)^2$ [/mm] sind nicht zueinander isomorph.
Wie habt ihr denn bisher endliche Koerper konstruiert, die nicht gerade von Primzahlgroesse sind?
> Oder wenn ich z.b. die abelschen Gruppen der Ordnung 20
> auflisten soll, dann würde ich wieder sagen also zum einen
> [mm]\IZ_{20}[/mm] und dazu die isomorphen Gruppen,
Solange das nicht alles sein soll: ok. Allerdings macht mich das
> also
stutzig. Es gibt einige abelsche Gruppen der Ordnung 20, die nicht isomorph zu [mm] $\IZ_{20}$ [/mm] sind.
> mache ich
> eine Primfaktorzerlegung von 20: [mm]20=2^{2}*5[/mm] und setze dann
> dementsprechen [mm]\IZ_{2},\IZ_{2}[/mm] und [mm]\IZ_{5}[/mm] zusammen.
Je nachdem ob du es verstanden hast oder nicht kann das sehr wohl die Beschreibung des richtigen Vorgehens sein, als auch eine Beschreibung eines falschen Vorgehens.
Liste doch einfach mal Vertreter fuer alle Isomorphieklassen von abelschen Gruppen mit 20 Elementen hier auf. Dann kann man mehr sagen.
LG Felix
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also wir haben mal einen Körper mit 4 Elementen konstruiert, und als Operation die Addition und Multiplikation gewählt. Nun muss dann ja jeweils das neutrale Element drinne sein, also 0 und 1 und dann haben wir noch 2 Elemente eingefügt: [mm] \alpha [/mm] und [mm] (\alpha+1). [/mm] Nun ist mir aber nicht ganz klar, wie ich diese Vorgehensweise für einen Körper mit 9 Elementen durchführen soll.
Zu den abelschen Gruppen mit 20 Elementen:
1. [mm] \IZ_{20}
[/mm]
2. [mm] \IZ_{2}\otimes\IZ_{2}\otimes\IZ_{5}
[/mm]
ist das so richtig, bzw. welche abelschen Gruppen fehlen jetzt noch???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 So 09.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> also wir haben mal einen Körper mit 4 Elementen
> konstruiert, und als Operation die Addition und
> Multiplikation gewählt. Nun muss dann ja jeweils das
> neutrale Element drinne sein, also 0 und 1 und dann haben
> wir noch 2 Elemente eingefügt: [mm]\alpha[/mm] und [mm](\alpha+1).[/mm] Nun
> ist mir aber nicht ganz klar, wie ich diese Vorgehensweise
> für einen Körper mit 9 Elementen durchführen soll.
Hmm, und ihr habt also einfach die Elemente benannt und die Additions- und Multiplikationstafeln festgelegt?
Oder habt ihr irgendwas mit irreduziblen Polynomen und Modulo gemacht?
> Zu den abelschen Gruppen mit 20 Elementen:
> 1. [mm]\IZ_{20}[/mm]
> 2. [mm]\IZ_{2}\otimes\IZ_{2}\otimes\IZ_{5}[/mm]
>
> ist das so richtig, bzw. welche abelschen Gruppen fehlen
> jetzt noch???
Das ist richtig so. Ausser dass du eher [mm] $\oplus$ [/mm] (direkte Summe) oder [mm] $\times$ [/mm] (direktes Produkt) anstelle [mm] $\otimes$ [/mm] (Tensor-Produkt) meinst, und dass [mm] $\IZ_2 \times \IZ_2 \times \IZ_5 \cong \IZ_2 \times \IZ_{10}$ [/mm] ist (das ist dann die Form aus dem Hauptsatz).
LG Felix
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ok, danke dass 2. ist mir jetzt klar.
und zum Körper mit 4 Elementen(so wie wir das in der vorlesung gemacht haben): Wie gesagt die neutralen Elemente müssen drinne sein, also 0 und 1 damit haben wir die ersten beiden Elemente. Dann haben wir die Operationstafeln aufgestellt, wobei dann gilt: [mm] \alpha+\alpha=0 [/mm] bzw. [mm] (\alpha+1)+(\alpha*1)=0 [/mm] und [mm] \alpha*\alpha=\alpha+1. [/mm] Ich wüsste aber nicht, wie ich jetzt einfach nen Körper mit 9 Elementen konstruieren soll.
Ich hab jetzt z.B. folgendes gefunden: ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikiversity.org/wiki/Endlicher_K%C3%B6rper/9/Operationstafeln nur hab ich nicht wirklich ne Ahnung, wie ich jetzt beispielsweise darauf kommen kann, wenn ich dass vllt in der Prüfung machen soll oder so.
Achso ich hab auch gelesen, dass es nicht funktioniert, einen Körper mit 10 Elementen zu konstruieren. Das liegt doch einfach daran, dass 10 keine PRimzahlpotenz ist oder?
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Hallo piccolo1986,
> ok, danke dass 2. ist mir jetzt klar.
>
> und zum Körper mit 4 Elementen(so wie wir das in der
> vorlesung gemacht haben): Wie gesagt die neutralen Elemente
> müssen drinne sein, also 0 und 1 damit haben wir die
> ersten beiden Elemente. Dann haben wir die Operationstafeln
> aufgestellt, wobei dann gilt: [mm]\alpha+\alpha=0[/mm] bzw.
> [mm](\alpha+1)+(\alpha*1)=0[/mm] und [mm]\alpha*\alpha=\alpha+1.[/mm] Ich
> wüsste aber nicht, wie ich jetzt einfach nen Körper mit 9
> Elementen konstruieren soll.
> Ich hab jetzt z.B. folgendes gefunden:
> http://de.wikiversity.org/wiki/Endlicher_K%C3%B6rper/9/Operationstafeln
> nur hab ich nicht wirklich ne Ahnung, wie ich jetzt
> beispielsweise darauf kommen kann, wenn ich dass vllt in
> der Prüfung machen soll oder so.
Na, das ist doch unter dem link recht schön beschrieben.
Mal in saloppen Worten:
Wenn du allg. einen Körper mit [mm] $p^k$ [/mm] Elementen (p prim, [mm] k\in\IN) [/mm] konstruieren sollst, lege [mm] $\IZ_p$ [/mm] zugrunde und bestimme ein in [mm] $\IZ_p$ [/mm] irreduzibles Polynom $f$ vom Grad k.
Dann bestimme alle Polynome in [mm] $\IZ_p$, [/mm] die echt kleineren Grad haben als $f$
Das sind dann genau [mm] $p^k$ [/mm] viele Elemente, die den Körper [mm] $\IZ_p/$ [/mm] konstituieren
Willst du zB, einen Körper mit [mm] $25=5^2$ [/mm] Elementen konstruieren, legst du [mm] $\IZ_5$ [/mm] zugrunde und bestimmst ein in [mm] $\IZ_5$ [/mm] irreduzibles Polynom f von Grad 2:
Das wäre: [mm] $f(x)=x^2+x+1$ [/mm] (wenn ich mich nicht verguckt habe)
Dann bestimme alle Polynome echt kleineren Grades in [mm] $\IZ_5$:
[/mm]
[mm] $\{0,1,2,3,4,x,2x,3x,4x,x+1,x+2,x+3,x+4,2x+1,2x+2,2x+3,2x+4,3x+1,3x+2,3x+3,3x+4,4x+1,4x+2,4x+3,4x+4\}$
[/mm]
Und das müssten 25 Stück sein, wenn ich nichts vergessen habe ...
>
> Achso ich hab auch gelesen, dass es nicht funktioniert,
> einen Körper mit 10 Elementen zu konstruieren. Das liegt
> doch einfach daran, dass 10 keine PRimzahlpotenz ist oder?
Genau, die Elementanzahl in einem endlichen Körper ist stets eine Primzahlpotenz [mm] $p^k$ [/mm] mit [mm] $k\in\IN$
[/mm]
LG
schachuzipus
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