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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Pseudo-Inverse
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Pseudo-Inverse: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:39 Sa 17.11.2012
Autor: bigalow

Aufgabe 1
B sei die Pseudo-Inverse der Matrix A. A hat vollen Rang.

$ A [mm] \in \IR^{m \times n}, [/mm] m [mm] \ge [/mm] n;$

$ B = [mm] (A^TA)^{-1}A^T [/mm] $

Zeige, dass B tatsächlich die Bedingungen erfüllt, die die Pseudo-Inverse definieren:

$ ABA = [mm] A,\qquad [/mm] BAB = [mm] B,\qquad (AB)^T [/mm] = [mm] AB,\qquad (BA)^T [/mm] = BA $

Aufgabe 2
B sei wieder die Pseudo-Inverse von A.
Bestimme [mm] \parallel [/mm] B [mm] \parallel_2. [/mm]
Hinweis: Die 2-Norm der Matrix A, d. h. $ [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_2 [/mm] $, ist gegeben durch $ [mm] \max_{i \in [1,...,n]} \sigma_i(A)= \bar \sigma [/mm] (A) $

Aufgabe1
Auf die ersten beiden Nachweise bin ich von selbst gekommen.
$ ABA = A ? $
$ ABA = [mm] A(A^TA)^{-1}A^TA [/mm]  $
substituieren $ C = A^TA $
$ [mm] AC^{-1}C [/mm] = A $

$BAB = B ? $
$ BAB =  [mm] (A^TA)^{-1}A^TA(A^TA)^{-1}A^T [/mm] $
substituieren $ D = A^TA $
$ [mm] D^{-1}D(A^TA)^{-1}A^T [/mm] = IB = B $

Mein Ansatz für die dritte Bedingung

$ [mm] (AB)^T [/mm] = [mm] A^TB^T [/mm] = [mm] A^T( (A^TA)^{-1}A^T)^T [/mm] $

oder $ [mm] (AB)^T= (A(A^TA)^{-1}A^T)^T [/mm] $

führt mich nicht weiter. Bedingung Nummer vier ähnelt der dritten.


Aufgabe 2
Hier hab ich mich soweit eingelesen: Die 2-Norm nennt man auch Spektralnorm. Bei quadratischen Matrizen (m = n) entsprechen die [mm] \sigma's [/mm] den Eigenwerten [mm] \lambda [/mm] von A. Dann wäre zu zeigen, dass der größte Eigenwert der Pseudo-Inversen und A gleich sind. Im Falle von m > n entsprechen die [mm] \sigma's [/mm] den Singulärwerten. Diese sind die Einträge auf der Hauptdiagonalen der Diagonalmatrix [mm] \Sigma. [/mm] Diese erhält man indem man eine Matrix A in drei Matrizen zerlegt,
$ A = U [mm] \Sigma V^T [/mm] $
, wobei U und V orthogonale Matritzen sind.

Ansatz? Matrixzerlegung $ A = U [mm] \Sigma V^T [/mm] $ in die Bestimmungsgleichung von B ( $ B = [mm] (A^TA)^{-1}A^T [/mm] $ ) einsetzen?





        
Bezug
Pseudo-Inverse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:10 So 18.11.2012
Autor: fred97

Im allgemeinen ist [mm] (AB)^T=A^TB^T [/mm]  falsch !


Die richtige Regel lautet: [mm] (AB)^T=B^TA^T [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
Pseudo-Inverse: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:21 So 18.11.2012
Autor: bigalow

Ok, danke. Da hab ich die Rechenregel für $ [mm] (A+B)^T [/mm] $ im Kopf gehabt. Die dritte Bedingung konnte ich damit zeigen (Berechnung unten, falls das später jemand liest).

Bei der vierten komm ich nicht weiter

$ [mm] (BA)^T \stackrel{!}{=} [/mm] BA: [mm] (BA)^T [/mm] = [mm] A^TB^T [/mm] = [mm] A^T((A^TA)^{-1}A^T)^T [/mm]   $
substituieren $ C = [mm] (A^TA)^{-1} [/mm] $
$ [mm] A^T((A^TA)^{-1}A^T)^T [/mm] = [mm] A^T(CA^T)^T [/mm] = [mm] A^TAC^T [/mm] = A^TAC = [mm] A^TA(A^TA)^{-1} \stackrel{!}{=} [/mm] BA = [mm] (A^TA)^{-1}A^TA [/mm] $

Wie gehts weiter? Was ist falsch?

Nachweis dritte Bedingung
$ [mm] (AB)^T [/mm] = [mm] B^TA^T [/mm] = [mm] ((A^TA)^{-1}A^T)^TA^T [/mm] $
substituieren $ C= [mm] (A^TA)^{-1} [/mm] $
$ [mm] ((A^TA)^{-1}A^T)^TA^T [/mm] = [mm] (CA^T)^TA^T [/mm] = [mm] AC^TA^T \stackrel{!}{=} [/mm] A [mm] (A^TA)^{-1}A^T =ACA^T [/mm]  $

Erfüllt wenn $ [mm] C^T=C [/mm] : [mm] C^T [/mm] = [mm] ((A^TA)^{-1})^T [/mm] = [mm] ((A^TA)^T)^{-1} [/mm] = [mm] (A^TA)^{-1} [/mm] = C $



Bezug
                        
Bezug
Pseudo-Inverse: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Di 20.11.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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