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| Aufgabe | | Die Vektoren [mm] \underline{v}, \underline{w} \in \IR^{n} [/mm] seien zueinander orthogonal [mm] (\underline{v}, \underline{w} \not= \underline{0}). [/mm] Geben Sie die Pseudoinverse der Matrix [mm] \underline{V} \in \IR^{n \times 2} [/mm] (d.h. [mm] \underline{v}, \underline{w} [/mm] stehen in den Spalten von [mm] \underline{V}) [/mm] an. |
Hallo allerseits,
quäle mich mal wieder mit Linearer Algebra rum. Weiss mit obiger Aufgabe eigentlich gar nichts anzufangen. Orthogonal bedeutet hier, die Spaltenvektoren stehen senkrecht aufeinander. Irgendwie hängt das wohl mit der Singulärwertzerlegung zusammen.
SWZ:= [mm] \underline{A} [/mm] = [mm] \underline{U}\underline{S}\underline{V}^{T}
[/mm]
Pseudoinverse:= [mm] \underline{A}^{+} [/mm] = [mm] \underline{V}\underline{S}^{T}\underline{U}^{T}
[/mm]
Tja, keine Ahnung was zu tun ist.
MfG
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Do 17.06.2010 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Also Singulärwertzerlegung ist ja schonmal richtig.
Mach das doch mal.
Die Singulärwerte sind die Eigenvektoren von [mm] A^T*A
[/mm]
Deine 2 Vektoren einsetzen:
[mm] \pmat{v_1 & v_2 \\ w_1 & w_2}*\pmat{v_1 & w_1 \\ v_2 & w_2}=
[/mm]
[mm] \pmat{v_1^2+v_2^2 & v_1*w_1+v_2*w_2 \\ w_1v_1+w_2v_2 & w_1^2+w_2^2}
[/mm]
Da die Vektoren senkrecht zueinenader stehen, gilt:
[mm] v_1*w_1+v_2*w_2==0
[/mm]
Damit hast du die Singulärwerte [mm] \|v\|_2^2 [/mm] und [mm] \|w\|_2^2.
[/mm]
Vielleicht hilft dir das ja erstmal als Anfang. Jetzt musst du noch deine Matrizen U und V berechnen und hast erstmal die Zerlegung. Eigentlich musst du nur die Definitionen anwenden.
Das bekommst du schon irgendwie hin.
Grüße
Max
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