Punkt auf Kreisrand bestimmen < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Mi 20.11.2013 | | Autor: | targos |
Hallo.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kurz vorweg, es ist keine gegebene Aufgabe von einem Übungsblatt sondern im Rahmen einer größeren Aufgabe bin ich nun selbst auf diese Fragestellung gestoßen daher ist die auch selbst formuliert. Ich versuch es trotzdem verständlich zu erklären was gemeint ist.
Auf dem Rand eines Kreises befinden sich zwei gegebene Punkte [mm] P1(x_{1},y_{1}) [/mm] und [mm] P2(x_{2},y_{1}). [/mm] Der Radius des Kreises ist mit R gegeben. Gesucht ist ein dritter Punkt [mm] P3(x_{3}, y_{3}) [/mm] auf dem Rand des Kreises der um einen gegebenen Winkel [mm] \alpha [/mm] von P2 aus um den Ursprung des Kreises gedreht wird. Der Kreismittelpunkt befindet sich an einer beliebigen Stelle in der x/y-Ebene und ist nicht gegeben.
Um das zu lösen hab ich mir folgendes überlegt:
Mit der Kriesgleichung und meinen Punkten P1 und P2 erhalte ich 2 Gleichungen:
[mm] (x_{1} [/mm] - [mm] x_{m})^{2} [/mm] + [mm] (y_{1} [/mm] - [mm] y_{m})^{2} [/mm] = R
[mm] (x_{2} [/mm] - [mm] x_{m})^{2} [/mm] + [mm] (y_{2} [/mm] - [mm] y_{m})^{2} [/mm] = R
nun hab ich 2 Gleichungen 2 Unbekannte und will den Mittelpunkt des Kreises bestimmen. Der Kreis wird anschließend in den Koordinatenursprung transformiert, mit Hilfe der Rotationsmatrix um den Winkel [mm] \alpha [/mm] gedreht und Rücktransformiert.
Hacken an der Sache, wenn ich die Gleichungsysteme lösen will werden die Gleichungen sehr lang und fies. Gibt es eine elegantere Methode das Problem zu lösen?
p.s.: mir ist Klar das bei 2 Punkten + Radius 2 Möglichkeiten entstehen an denen sich der Kreismittelpunkt befinden kann, allerdings kann einer davon im Rahmen der Aufgabe logisch ausgeschlossen werden, so dass der Kreismittelpunkt eindeutig ist.
Ich bin dankbar für jede Idee wie man weniger umständich auf den Punkt P3 kommt. Alternativ vielleicht auch eine Idee wie man das Gleichungssystem weniger aufwenig lösen kann. Bisher mach ich es so dass ich bei beiden Gleichungen die Klammern auflöse. I - II rechner wodurch zumindest erstmal die quadratischen Teile verschwinden und ich für [mm] y_{m} [/mm] erhalte:
[mm] y_{m} [/mm] = 1/ [mm] (2y_{1} [/mm] - [mm] 2y_{2}) [/mm] * [mm] (x_{1}^{2} [/mm] - [mm] x_{2}^{2} [/mm] + [mm] y_{1}^{2} [/mm] - [mm] y_{2}^{2} [/mm] - [mm] (2x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{2})x_{m})
[/mm]
das nun in ne Gleichung einsetze und für [mm] x_{m} [/mm] eine quadratische Gleichung mit riesiegen Vorfaktoren erhalte. Das ist was ich mit umständlich meine und bei dem mir wahrscheinlich eine vielzahl Rechenfehler unterwegs unterlaufen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Mi 20.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
einfacher schneide die Mittelsenkkrechte auf P1P2 mit einem Kreis Radius R um P1 oder P2
Gruss keduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Mi 20.11.2013 | | Autor: | targos |
Danke keduart.
Auf die Art ist die Bestimmung des Kreismittelpunkts weniger aufwendig. Das hilft schonmal.
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