Punkt in Pyramide < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ich soll von einer Pyramide ABCDS prüfen, ob ein angebender Punkt P in der Pyramide liegt. |
Ich hab leider keine Idee wie ich das bewerkstelligen solll. ich kann ja nicht alle Punkte abgrenzen oder eine Formel für die Pyramide aufstellen. Stehe voll auf dem Schlauch. Hat jemand einen klitzekleinen Ansatz?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 So 19.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Hi,
eine Idee hätte ich. Will aber nicht ausschließen, dass es auch wesentlich einfacher geht:
Schritt 1:
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Sei ohne Einschränkung der Allgemeinheit A der Nullvektor (Rechne halt mit A'=A-A, B'=B-A,...
P'=P-A).
Schritt 2:
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Prüfe ob P (ich lasse den Strich jetzt weg) im 4flächner 0,B,C,S liegt. Wenn der 4flächner
nicht entartet ist müssten B,C,S nämlich eine Basis des Vektorraumes bilden und dann wären
alle denkbaren Punkte P eindeutig festgelegt und innerhalb des Tetraeders, wenn P als
[mm]P = b\cdot B + c\cdot C + s\cdot S[/mm] mit [mm] $b,c,s\in [/mm] [0,1]$ darstellbar ist.
Falls das gegeben ist liegt P im 4flächner.
Schritt 3:
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Falls nicht wiederhole Schritt 2 für den Vierflächner 0,B,D,S.
So oder so ähnlich würde ich spontan vorgehen.
Da es aber vermutlich auch eleganter geht markiere ich diesen Text nur als Mitteilung und
nicht als Antwort.
Liebe Grüße
Markus-Hermann.
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> Ich soll von einer Pyramide ABCDS prüfen, ob ein angebender
> Punkt P in der Pyramide liegt.
> Ich hab leider keine Idee wie ich das bewerkstelligen
> solll. ich kann ja nicht alle Punkte abgrenzen oder eine
> Formel für die Pyramide aufstellen. Stehe voll auf dem
> Schlauch. Hat jemand einen klitzekleinen Ansatz?
Da Du als "Math. Background" Grundschule, Klasse 1 angegeben hast, ist hier wirklich schwer zu helfen.
Wenn wir aber einmal annehmen, dass diese Angabe nicht ganz ernst zu nehmen ist, dann fällt mir zu Deinem Problem folgendes ein: Die Pyramide ist die "konvexe Hülle" der Punkte $A,B,C,D,S$. Daher liegt ein Punkt [mm] $P=(x_P|y_P|z_P)$ [/mm] genau dann in der Pyramide, wenn es Skalaren [mm] $\lambda_A, \lambda_B, \lambda_C, \lambda_D, \lambda_S$ [/mm] gibt, die folgende Bedingungen erfüllen:
[mm]\begin{array}{crcll}
\text{(I)} & \lambda_A,\lambda_B,\lambda_C,\lambda_D,\lambda_S &\geq& 0\\
\text{(II)} & \lambda_A+\lambda_B+\lambda_C+\lambda_D+\lambda_S &=& 1\\
\text{(III)} & \begin{pmatrix}x_P\\y_P\\z_P\end{pmatrix} &=& \lambda_A \vec{OA}+\lambda_B \vec{OB}+\lambda_C \vec{OC}+\lambda_D \vec{OD}+\lambda_S \vec{OS}
\end{array}[/mm]
Anschaulich gesprochen: Der Punkt $P$ liegt genau dann in der Pyramide $ABCDS$, wenn sich die Masse 1 so in den Eckpunkten $A,B,C,D$ und $S$ verteilen lässt, dass $P$ der Schwerpunkt dieser fünf Punktmassen ist.
Aus den Bedingungen (II) und (III) erhältst Du ein System von vier linearen Gleichungen für die fünf gesuchten Skalaren [mm] $\lambda_A,\lambda_B,\lambda_C,\lambda_D,\lambda_S$. [/mm] Die allgemeine Lösung dieses (unterbestimmten) linearen Gleichungssystems musst Du dann auf Erfüllbarkeit der Bedingung (I) prüfen.
Nachtrag (2. Revision): Diese Überlegung setzt voraus, dass die Grundseite $ABCD$ ein konvexes Viereck ist. Andernfalls könnte der Schwerpunkt von in den Eckpunkten befindlichen Punktmassen auch ausserhalb der Pyramide liegen.
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