Punkte auf Einheitskreis < Matlab < Mathe-Software < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben ist der Einheitskreis [mm] (x^{2}+y^{2}=1) [/mm] sowie ein Startwert, der auf dem Einheitskreis liegt (z.B. [mm] x_{0}=(0.8;0.6)). [/mm] In diesem Punkt soll die Tangente angelegt werden. Auf dieser Tangente wird anschließend 0.1 "vorwärts gelaufen". In dem daraus entstehenden Punkt [mm] x_{1,0} [/mm] wird eine Senkrechte zur Tangente bestimmt, die den Kreis im neuen Punkt [mm] x_{1} [/mm] schneidet. Gesucht ist der Punkt [mm] x_{1}. [/mm] |
Guten Abend zusammen,
wir arbeiten gerade an einem Matlab-Projekt. Unser aktueller Schritt: Wir sollen oben genanntes in Matlab realisieren. Bei uns klemmt es noch auf der mathematischen wie auch auf der Programmierebene.
Wir sind soweit, dass wir mittels inline die Gleichung [mm] x^{2}+y^{2}-1 [/mm] wie auch die Jacobimatrix (2x 2y) bzw. das System [mm] \pmat{ x^{2}+y^{2}-1 \\ x^{2}+y^{2}-1} [/mm] und Jacobi [mm] \pmat{ 2x & 2y \\ 2x & 2y} [/mm] eingeben.
Dazu muss der Startwert dem Programm übermittelt werden sowie die Schrittweite 0.1
.
Jetzt unser Problem: Wie kriege ich aus der Jacobimatrix die Tangentengleichung? Wir können die Werte von [mm] x_{0} [/mm] in die Jacobimatrix einsetzen, aber was haben wir davon?
Wenn wir die Tangentengleichung hätten, könnten wir evtl. auch den Punkt [mm] x_{1,0} [/mm] ermitteln. Den Schnittpunkt zwischen der auf der Tangente liegenden Senkrechten und dem Kreis kann man dann mit dem Newton-Verfahren irgendwie machen.
Den einfachen geometrischen Ansatz (Schnittpunkt von Kreis und der Parallelen zur Geraden [mm] Kreismitte-x_{0} [/mm] mit dem Abstand 0.1 von dieser) sollen wir nicht nehmen, da wir das ganze dann irgendwann auf die Kugel erweitern sollen. Aber noch stellen wir uns selbst bei der Kreisgleichung zu nass an... :-(
Bitte bitte helft uns!
Thomas & Tina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 Di 05.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Die Jacobimatrix von [mm] $f(x,y)=x^2+y^2$ [/mm] hat damit nicht sehr viel zu tun. Um einen Tangentialvektor an [mm] $S^1=\{(x,y)\in\IR^2\mid x^2+y^2=1\}$ [/mm] zu bekommen, nehmt ihr einfach einen schönen Weg, der vollständig in der [mm] S^1 [/mm] liegt und durch euren fraglichen Punkt [mm] $x_0$ [/mm] geht. Hier bietet sich ja [mm] $\gamma:(-\pi,\pi]\ni\varphi\mapsto(\cos\varphi,\sin\varphi)\in S^1$ [/mm] an. Ein Tangentialvektor in [mm] $x_0\in S^1$ [/mm] ist dann [mm] $\gamma'(\gamma^{-1}(x_0))$ [/mm] und die Gleichung der Tangente lautet [mm] $x_0+\lambda\cdot\gamma'(\gamma^{-1}(x_0))$
[/mm]
Gruß, Robert
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Hallo,
erstmal danke für deine Antwort!
> Die Jacobimatrix (...) hat damit nicht sehr viel zu tun
Das sieht unser Projektbetreuer von der Uni leider etwas anders. Der nimmt den Startvektor von x und y und setzt ihn in die Jacobimatrix der Kreisgleichung ein. Dabei kommt für das Beispiel [mm] x_{0}(0.6,0.8) [/mm] der Vektor (1.2, 1.6) raus. Danach sollen wir daraus den Richtungsvektor für die Tangente ermitteln (oder gleich die entsprechende Senkrechte auf der Tangente im Abstand [mm] \alpha=0.1 [/mm] ??). Zur Bestimmung von [mm] x_{1} [/mm] brauchen wir zusätzlich zu der Kreisgleichung "nur" noch eine zweite Gleichung [mm] a_{1}x+a_{2}y-0.1=0. [/mm] Wir wissen nur nicht so recht für was der Vektor a steht und wie man die ersten a's bestimmt.
Viele Grüße vom
Antiprofi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Mi 06.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Okay ich habe mir jetzt klar gemacht was die Jacobimatrix damit zu tun hat. Also nehmen wir mal ganz allgemein den Fall der [mm] $\mathbb{S}^n\subset\IR^{n+1}$. [/mm] Betrachtet man die Abbildung [mm] $$f(x)=\sum_{i=1}^{n+1} x_i^2$$ [/mm] (d.h. [mm] $\mathbb{S}^n=f^{-1}(1)$), [/mm] dann sind die Tangentialvektoren an [mm] $x_0\in \mathbb{S}^n$ [/mm] genau die Vektoren, die senkrecht auf der Jacobimatrix von f (aufgefasst als Vektor) stehen. Da die Jacobimatrix von f in [mm] $x_0$ [/mm] nichts weiter als [mm] 2x_0 [/mm] ist, müsst ihr also das LGS [mm] $$\sum_{i=1}^{n+1}x_i=0$$ [/mm] lösen. Diese Lösungen sind eure Tangentialvektoren...
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Do 07.01.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich habe das ganze Mal für den 3D Fall einer Kugel berechnet die beschrieben wird durch die Gleichung
[mm] f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0
[/mm]
Die Tangentialhyperebene im Punkt [mm] (x_0,y_0,z_0) [/mm] berechnet sich aus
[mm] f_x(x_0,y_0,z_0)*(x-x_0)+f_y(x_0,y_0,z_0)*(y-y_0)+f_z(x_0,y_0,z_0)*(z-z_0)=0 [/mm] zu
[mm] E=-\bruch{(f_x(x_0,y_0,z_0)*(x-x_0)+f_y(x_0,y_0,z_0)*(y-y_0))}{f_z(x_0,y_0,z_0)}+z_0
[/mm]
wobei für
[mm] f_x(x_0,y_0,z_0)=2*x_0
[/mm]
[mm] f_y(x_0,y_0,z_0)=2*y_0
[/mm]
[mm] f_z(x_0,y_0,z_0)=2*z_0
[/mm]
gilt, mit [mm] z_0=\wurzel{1-x_0^2-y_0^2}
[/mm]
Das folgende Matlab Programm berechnet und zeichnet die Halbkugel und die Tangentialhyperebe im Punkt
[mm] x_0=0.9
[/mm]
[mm] y_0=0.1
[/mm]
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") 3d-Plot
mfg ullim
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: m) [nicht öffentlich]
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