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Punkte bestimmen: Lösungsansatz/Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:46 So 22.04.2007
Autor: IceHunter

Aufgabe
Eine Gerade g geht durch den Punkt A (1/2/3) und den Vektor B [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ 2}. [/mm]

a) Liegen die Punkte B (-2/-1/9) und C (1/3/4) auf der Geraden?

b) berechnen Sie die Koordinaten des Punktes D (4/y/Z).

c) In welchem Verhältnis teilt A die Stecke BD?

Hallo,
ich bräuchte für b) und c) einmal einen Lösungsansatz und für a) falls jemand Lust hat einmal überprüft ob mein Ergebnis richtig ist.
Ich bin folgender Maßen vorgegangen:
Erst die gerade Aufgestellt:

[mm] g=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+ r*\vektor{-1 \\ -1 \\ 2} [/mm]

Den Punkt B eingesetzt:

[mm] \vektor{-2 \\ -1 \\ 9}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+ r*\vektor{-1 \\ -1 \\ 2} [/mm]

dann:

[mm] \vektor{-3 \\ -3 \\ 6}= r*\vektor{-1 \\ -1 \\ 2} [/mm]

wenn ich jetzt für r=3 einsetzte dann komme ich zu dem Ergebnis, dass der Punkt auf der Geraden liegt.

Für den Punkt C

[mm] g=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+ r*\vektor{-1 \\ -1 \\ 2} [/mm]

Punkt einsetzen:

[mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 4}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+ r*\vektor{-1 \\ -1 \\ 2} [/mm]

dann:

[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1}= r*\vektor{-1 \\ -1 \\ 2} [/mm]

jetzt kann ich nichts für r= einsetzen, oder täusche ich mich?

Danke schon mal im Voraus.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Punkte bestimmen: bisher richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:58 So 22.04.2007
Autor: Loddar

Hallo IceHunter!


Deine Berechnung bisher ist richtig. Beim Punkt $C_$ kannst Du ja auch noch ein Gleichungssystem aufstellen, welches wiedersprüchliche Ergebnisse für $r_$ liefert. Draus folgt dann, dass der Punkt $C_$ nicht auf der Geraden liegt:

$0 \ = \ r*(-1)$     [mm] $\gdw$ [/mm]     $r \ = \ 0$

$1 \ = \ r*(-1)$     [mm] $\gdw$ [/mm]     $r \ = \ -1$

$1 \ = \ r*2$       [mm] $\gdw$ [/mm]     $r \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm]



Um nun die Koordinaten von $D_$ zu ermitteln, setzen wir in die Geradengleichung ein und stellen ebenfalls ein Gleichungssystem auf:

[mm] $\vektor{4\\y\\z} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1\\2\\3}+r*\vektor{-1\\-1\\2}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow$ [/mm]     $4 \ = \ 1+r*(-1)$

Hieraus nun $r \ = \ ...$ ermitteln und in die Geradengleichung einsetzen.


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Punkte bestimmen: Aufg. c)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:13 So 22.04.2007
Autor: VNV_Tommy

Hallo IceHunter!

Zunächst einmal heiße ich dich herzlich [willkommenmr]
  

> c) In welchem Verhältnis teilt A die Stecke BD?

Theoretisch könntest du davon ausgehen, dass A die Strecke BD auf jeden Fall teilt. Praktisch sollte man jedoch zunächst prüfen (so würd ich es machen), ob A überhaupt die Strecke BD teilt. D.h. zunächst eine Geradengleichung durch BD aufstellen und dann überprüfen, ob bei der Punktprobe für A für den Parameter r ein Wert zwischen 0 und 1 bzw. 0 und -1 heraus kommt, denn nur dann liegt der Punkt A zwischen B und D.

Dann gehts eigentlich erst richtig los:
Spanne dir erst den Vektor [mm] \overrightarrow{BD} [/mm] auf. Bestimme dann den Betrag (also die Länge) dieses Vektors.
Spanne dir dann einen Vektor [mm] \overrightarrow{BA} [/mm] auf und berechne auch dessen Betrag. Du hast nun die Beträge der beiden Strecken [mm] \overline{BD} [/mm] und [mm] \overline{BA}, [/mm] wobei [mm] \overline{BA} [/mm] Teilstrecke von [mm] \overline{BD} [/mm] ist. Nun kannst du das Teilungsverhältnis [mm] \bruch{\overline{BA}}{\overline{BD}-\overline{BA}} [/mm] berechnen.

Beispiel:
Angenommen [mm] \overline{BA} [/mm] ist 1LE lang und [mm] \overline{BD} [/mm] ist 6LE lang, dann teilt Punkt A die Strecke [mm] \overline{BD} [/mm] im Verhältnis [mm] \bruch{1}{6-1}=\bruch{1}{5} [/mm] (eins zu fünf).

Soweit verstanden? Wenn nicht: einfach nachfragen. ;-)

Gruß,
Tommy

Bezug
                
Bezug
Punkte bestimmen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 So 22.04.2007
Autor: IceHunter

Puuuh...ok, ich habe es mal probiert.

Also zu c)

[mm] \overrightarrow{BD}= -\vec{b}+\vec{d} [/mm]

[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -9}+\vektor{4 \\ 5 \\ -3} [/mm]

= [mm] \vektor{7 \\ 6 \\ -12} [/mm]

Dann die Strecke:

[mm] S=\wurzel{7^{2}+6^{2}-12^{2}} [/mm]
= 40.25...

Dann für [mm] \overrightarrow{BA} [/mm]

[mm] \overrightarrow{BD}= -\vec{b}+\vec{a} [/mm]

[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -9}+\vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm]

= [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ -6} [/mm]


Dann die Strecke:

[mm] S=\wurzel{3^{2}+3^{2}-6^{2}} [/mm]
= ...
Jetzt kommt nix raus, da das Ergebnis unter der Wurzel negativ ist... Habe ich mich irgendwo verrechnet?...oder ist das was ich gemacht habe überhaubt richtig^^?

Danke für eure schnellen Antworten





Bezug
                        
Bezug
Punkte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:48 So 22.04.2007
Autor: VNV_Tommy


> Puuuh...ok, ich habe es mal probiert.
>  
> Also zu c)
>  
> [mm]\overrightarrow{BD}= -\vec{b}+\vec{d}[/mm]
>  
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -9}+\vektor{4 \\ 5 \\ -3}[/mm]
>  
> = [mm]\vektor{\red{7} \\ 6 \\ -12}[/mm]

2+4=7 ??? Sicher ein kleiner Rechenfehler, oder? ;-)
  

> Dann die Strecke:
>  
> [mm]S=\wurzel{7^{2}+6^{2}\red{-}12^{2}}[/mm]
>  = 40.25...

Da du dich beim Vektor [mm] \overrightarrow{BD} [/mm] ein bisschen vertan hast, kann der Betrag folglich auch nicht stimmen. (Zum Vergleich: [mm] |\overrightarrow{BD}|=\wurzel{36+36+144}=\wurzel{216}). [/mm] Übrigens: In der Wurzel steht bei der Betragsberechnung immer eine Summe, denn die Komponenten des Vektors müssen alle quadriert und dann adiert werden, nie subtrahiert!
  

> Dann für [mm]\overrightarrow{BA}[/mm]
>  
> [mm]\overrightarrow{BA}= -\vec{b}+\vec{a}[/mm]
>  
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -9}+\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
>  
> = [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ -6}[/mm]

[daumenhoch]
  

>
> Dann die Strecke:
>  
> [mm]S=\wurzel{3^{2}+3^{2}-6^{2}}[/mm]
>  = ...

Gleicher Hinweis wie oben. In der Wurzel steht nie ne Differenz, nur Summen!
(Zum Vergleich: [mm] |\overrightarrow{BA}|=\wurzel{9+9+36}=\wurzel{54}) [/mm]

>  Jetzt kommt nix raus, da das Ergebnis unter der Wurzel
> negativ ist... Habe ich mich irgendwo verrechnet?...oder
> ist das was ich gemacht habe überhaubt richtig^^?
>  
> Danke für eure schnellen Antworten

Kein Problem. ;-)

Gruß,
Tommy

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Bezug
Punkte bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:53 So 22.04.2007
Autor: IceHunter

Ah...ok, wie blöd von mir^^

Dann sollte ich jetzt eigentlich alles hin bekommen...

Noch mal ein herzliches Dankeschön!!!

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