Punkte im Raum (Vektoren) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 So 06.11.2005 | | Autor: | M.a.x.i |
Hi!
Das letzte Mal, dass ich mit Vektoren gerechnet habe, war in der 12. Klasse und schon einige Zeit her. Leider habe ich all meine Unterlagen von damals weggeworfen, sonst könnte ich die folgende Aufgabe bestimmt lösen.
Also, gegeben sind drei Punkte als Ortsvektoren:
[mm] \vec r_A=\vektor{3 \\ -1\\ 1}
[/mm]
[mm] \vec r_B=\vektor{0 \\ -4\\ -2}
[/mm]
[mm] \vec r_C=\vektor{5 \\ -3\\ 1}
[/mm]
Meine Aufgabe ist, die Koordinaten der Punkte zu bestimmen, die mit Punkt A und B auf einer Geraden liegen und deren Abstand zu Punkt A der gleiche ist wie der zwischen Punkt C und Punkt A.
Die Strecke [mm] \vec a_{CA} [/mm] ist nach meinen Berechnungen [mm] \wurzel{8} [/mm] lang.
Aus der Uni kenne ich folgende Formel, mit der wir einen Punkt D auf der Geraden errechnet haben, der genau zwischen den Punkten A und B liegt:
[mm] \vec r_{D} = \vec r_{A} + 1/2 (\vec r_{B}-\vec r_{A}) [/mm]
Und da habe ich mir gedacht, dass im Falle meiner neuen Aufgabe [mm] |\vec r_{DA}| [/mm] = [mm] |\vec r_{CA}| [/mm] sein muss und dann müsste [mm] \vec r_{D}=\vec r_{C} [/mm] sein. Oder nicht?
Und dann dachte ich, jetzt brauche ich nur noch den Faktor d, der anstelle von 1/2 in die Formel aus der Uni eingesetzt werden muss und habe dann versucht folgendermaßen zu rechnen:
=> [mm] \vec r_{D} = \vec r_{A} + d (\vec r_{B}-\vec r_{A}) [/mm]
=> [mm] \vec r_{D}=\vec r_{C}
[/mm]
[mm] \vektor{5 \\ -3\\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ -1\\ 1} [/mm] + d [mm] \cdot \vektor{-3 \\ -3\\ -3} \parallel [/mm] - [mm] \vektor{3 \\ -1\\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{5 \\ -3\\ 1} [/mm] - [mm] \vektor{3 \\ -1\\ 1} [/mm] = d [mm] \cdot \vektor{-3 \\ -3\\ -3} \parallel [/mm] : [mm] \vektor{-3 \\ -3\\ -3}
[/mm]
Und an dieser Stelle bin ich dann nicht mehr weitergekommen, weil es mir seltsam vorkam durch einen Vektor zu teilen. Ich habe woanders im Internet schon gesehen, dass man die Gleichungen einfach spaltet. Und so die einzelnen Komponenten ausrechnet.
Ich frage mich, ob ich nicht gerade total auf dem Holzweg bin und die Punkte ganz anders errechnen muss! ;)
Vielen Dank im Voraus!!!!
M.a.x.i
Ich habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum im Internet gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 So 06.11.2005 | | Autor: | sumisel |
Dein Fehler liegt bei der Annahme, dass D genau zwischen A und B liegt. D muss nämlich von A den Abstand [mm] \wurzel{8} [/mm] haben, genau wie C.
Dazu wäre es gut, wenn du die Geradengleichung AB aufstellst, die auch durch D geht:
[mm] \vec r_{D}=\vektor{3 \\ -1\\ 1} [/mm] + v [mm] \cdot \vektor{-1 \\ 1\\ 0}
[/mm]
Der Vektor zu D hat die koordinaten x,y,z.
Also hast du folgendes Gleichungssystem:
x=3-v
y=-1+v
z=1
Da D den Abstand [mm] \wurzel{8} [/mm] zu A hat, ist
[mm] \wurzel{8}= \wurzel{(3-x)^{2} + (-1-y)^{2} + (1-z)^{2}}
[/mm]
also:
[mm] \wurzel{8}= \wurzel{(3-(3-v))^{2} + (-1-(-1+v))^{2} + (1-1)^{2}}
[/mm]
also:
[mm] \wurzel{8}= \wurzel{2*v^{2}}
[/mm]
quadriert:
[mm] 8=2*v^{2}
[/mm]
also:
[mm] v_{1}= [/mm] 2
[mm] v_{2}= [/mm] -2
also ist für [mm] D_{1}:
[/mm]
x=1
y=1
z=1
und für [mm] D_{2}:
[/mm]
x=5
y=-3
z=1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:56 Mo 07.11.2005 | | Autor: | M.a.x.i |
Hi!
Stimmt genau. Ich dachte doch wirklich die ganze Zeit, dass der Punkt D zwischen A und B liegen muss. Merkwürdig, ich weiß gar nicht wieso ich das dachte. ;)
Na ja, auch nicht schlimm.
Danke für deine Hilfe!!!!
M.a.x.i
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Di 08.11.2005 | | Autor: | M.a.x.i |
Hi!
Wie bist du eigentlich auf [mm] \vektor{-1 \\ 1\\ 0} [/mm] gekommen?
[mm] \vec r_{BA} [/mm] ist doch eigentlich...
[mm] \vec r_{BA} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -4\\ -2} [/mm] - [mm] \vektor{3 \\ -1\\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ -3\\ -3} [/mm] , rechne ich da nicht richtig? ;)
Und bei der Lösung für [mm] D_1 [/mm] habe ich x=-1 / y = 1 / z = 1 heraus.
Da [mm] \vektor{3 \\ -3\\ 1} [/mm] + 2 [mm] \cdot \vektor{-1 \\ -1\\ -0} [/mm] =
[mm] \vektor{3 \\ -3\\ 1} [/mm] + [mm] \vektor{-2 \\ 2\\ 0} [/mm]
M.a.x.i
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Do 10.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> Wie bist du eigentlich auf [mm]\vektor{-1 \\ 1\\ 0}[/mm] gekommen?
Du hast Recht, das war ein Fehler des Antwortgebenden.
> [mm]\vec r_{BA}[/mm] ist doch eigentlich...
>
> [mm]\vec r_{BA}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ -4\\ -2}[/mm] - [mm]\vektor{3 \\ -1\\ 1}[/mm]
> = [mm]\vektor{-3 \\ -3\\ -3}[/mm] , rechne ich da nicht richtig? ;)
Doch. 
> Und bei der Lösung für [mm]D_1[/mm] habe ich x=-1 / y = 1 / z = 1
> heraus.
> Da [mm]\vektor{3 \\ -3\\ 1}[/mm] + 2 [mm]\cdot \vektor{-1 \\ -1\\ -0}[/mm] =
> [mm]\vektor{3 \\ -3\\ 1}[/mm] + [mm]\vektor{-2 \\ 2\\ 0}[/mm]
Nein, da wäre die andere Lösung schon richtig gewesen (wenn vorher nicht der Fehler passiert wäre).
Liebe Grüße
Stefan
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