Punktspiegelung mit Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Mo 20.08.2007 | | Autor: | TRANSLTR |
| Aufgabe | Gegeben P : [mm] \vektor{1 \\ 2}
[/mm]
Spiegle den Punkt P an der Gerade y = 2x + 3 mit einer geeigneten Matrix. |
Ich habe mir gedacht, dass man die Gerade y runter zum 0-Punkt verschieben, an der Spiegelungsmatrix von y = x: [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] spiegeln und den y-Wert wieder um 3 Einheiten hinaufschieben kann.
Dann bekomme ich:
P: [mm] \vektor{1 \\ 2}
[/mm]
[mm] P_{neu} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] * P = [mm] \vektor{2 \\ 1}
[/mm]
[mm] P_{neu2} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 4}
[/mm]
Ich habe es dann mit der Vektorgeometrie gelöst und dann [mm] \vektor{-1 \\ 4} [/mm] bekommen, was sehr wahrscheinlich stimmt. Mit der Matrixrechnung komm' ich nicht drauf...
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Vielleicht solltest du P auch mit verschieben... und dir noch überlegen, ob es einen Unterschied macht, welche Steigung die Gerade hat...
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:24 Di 21.08.2007 | | Autor: | TRANSLTR |
Ich habe mir schon gedacht, dass es mit der Steigung zusammenhängt, doch komme ich nicht drauf was es sein könnte.
Ich könnte den neuen x-Wert 2 in y einsetzen, dann bekomme ich für y = 7. Stimmt leider auch wieder nicht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:36 Di 21.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
Hilft das?
Grüße Mumrel
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> Gegeben P : [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm]
> Spiegle den Punkt P an der
> Gerade y = 2x + 3 mit einer geeigneten Matrix.
Hallo,
zunächst einmal handelt es sich hierbei nicht, wie man Deiner Überschrift entnehmen könnte, um eine Punktspiegelung.
Es handelt sich um die Spiegelung an einer Geraden, welche nicht durch den Ursprung geht, und zu spiegeln ist ein Punkt.
> Spiegle [...] mit einer geeigneten Matrix.
Könnte es sein, daß Du das mit homogenen Koordinaten machen sollst?
Hattet Ihr das?
Falls ja, bekommst Du die gesuchte Matrix, indem Du die Abbildungsmatrizen für folgende Abbildungen verkettest:
1. Translation, so dass die Spiegelachse durch (0,0) führt.
2. Rotation, so dass Spiegelungsachse = x-Achse (oder y-Achse)
3. Spiegelung
4. Rücktransformation:
a. zurückdrehen
b. zurückschieben
In homogenen Koordinaten, wohlgemerkt, und nur, wenn Ihr das hattet.
Gruß v. Angela
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1. Translation, so dass die Spiegelachse durch (0,0) führt.
Die Spiegelachse ist die y-Achse, 2x + 3, wie kann ich das durch 0 | 0 legen?
Wir hatten die Verkettung von verschiedenen Abbildungsmatrizen zwar, aber die Translation haben wir noch nicht behandelt.
Ich komme einfach nicht weiter mit der Aufgabe, wäre froh wenn jemand mir den ersten Schritt konkret zeigen könnte....
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 00:00 Mi 22.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
Hi Translt,
weißt du wie man für gewöhnlich die Matrix aufstellt?
Also die Spalten der Matrix enthalten die Bilder der Basisvektoren, also hier Bild((1,0)) und Bild ((0,1)).
Wenn du die beiden kennst hast du deine Matrix.
Also schaun wir mal wie du da ran kommst.
Ich mach es dir für P vor.
Wir haben also unsere Gerade g und den Punkt P.
g = [mm] \vektor{0 \\ 3} [/mm] + t [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm]
Um den Spiegelpunkt zu errechnen legen wir eine zu g orthogonalge Gerade die durch P geht, die gibt uns nacher den Lotpunkt.
Die Gerade können wir ja z.B. einfach so bestimmen.
Damit die Gerade senkrecht stehen, müssen ihre Steigungen multipliziert -1 ergeben (negative d. Kehrwertes) bzw. im [mm] \IR^2 [/mm] das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren 0.
H hat also die Steigung -1/2 bzw den Richtungsvektor (2, -1)
Als Ortsvektor können wir P nehmen.
Damit ergibt sich:
h: [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] + h [mm] \vektor{2 \\ -1}
[/mm]
Ok weiter gehts. Wir sind am Schnittpunkt S interessiert, denn wenn wir den kennen, können wir SP ausrechnen den nach drüben "klappen" und haben dann unser Ergebnis.
Den Schnittpunkt erhalten wir, wenn wir die Geradengleichungen gleichsetzten:
[mm] \vektor{0 \\ 3} [/mm] + t [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] + h [mm] \vektor{2 \\ -1}
[/mm]
Daraus zimmern wir ein LGS.
Für die x-Komponente von gilt:
t = 1 + 2h bzw. t - 2h = 1
Für die Y-Komponente von gilt:
3 + 2t = 2 - h bzw. 2t + h = -1
Lösen d. LGS:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 1\\ 2 & 1 & -1}
[/mm]
Ergibt für t: t = [mm] \frac{-1}{5}
[/mm]
Ergibt für h: h = [mm] \frac{-3}{5}
[/mm]
In beide Gleichungen einsetztn um S zu berechnen und zur Kontrolle:
S = [mm] \vektor{\frac{-1}{5} \\ \frac{13}{5}}
[/mm]
So damit kann man SP berechnen und damit den gepsigelten Punkt P'.
P' sollte S - (SP) sein.
Das Prozedere musst du nun für die beiden Basisvektoren wiederholen, dann hast du deine Matrix.
Falls Fragen oder Fehler auftauchen meld dich, das kriegen wir schon gebacken :).
Grüße Mumrel
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 08:57 Mi 22.08.2007 | | Autor: | angela.h.b. |
> Hi Translt,
>
> weißt du wie man für gewöhnlich die Matrix aufstellt?
> Also die Spalten der Matrix enthalten die Bilder der
> Basisvektoren, also hier Bild((1,0)) und Bild ((0,1)).
> Wenn du die beiden kennst hast du deine Matrix.
>
> Also schaun wir mal wie du da ran kommst.
> Ich mach es dir für P vor.
> [...]
> Das Prozedere musst du nun für die beiden Basisvektoren
> wiederholen, dann hast du deine Matrix.
Hallo,
nein, das ist verkehrt.
Es ist die Spiegelung an einer Geraden, welche nicht durch den Nullpunkt geht, keine lineare Abbildung, was man sich schnell klarmacht, wenn man sich überlegt, daß die Nulll nicht aud die Null abgebildet wird.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 11:18 Mi 22.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
> Hi Translt,
>
> weißt du wie man für gewöhnlich die Matrix aufstellt?
> Also die Spalten der Matrix enthalten die Bilder der
> Basisvektoren, also hier Bild((1,0)) und Bild ((0,1)).
> Wenn du die beiden kennst hast du deine Matrix.
Hallo,
ja da hat Angela Recht, das ist natürlich Mist wenn das keine lin. Abbildung ist. Der geometrische Anteil müsste indess stimmen.
Sorry für die Flaschinforationen.
Grüße Mumrel
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> 1. Translation, so dass die Spiegelachse durch (0,0) führt.
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> Die Spiegelachse ist die y-Achse, 2x + 3, wie kann ich das
> durch 0 | 0 legen?
> Wir hatten die Verkettung von verschiedenen
> Abbildungsmatrizen zwar, aber die Translation haben wir
> noch nicht behandelt.
Hallo,
Du kannst die Translation nur in homogenen Koordinaten als Matrix darstellen, "normal" nicht, denn es ist ja keine lineare Abbildung.
Daher meine Frage: hattet Ihr homogene Koordinaten?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Do 23.08.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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