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Hallo,
wir hatten letztens im Unterricht eine Steckbriefaufgabe, bei welcher angegeben war, dass sie Punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.
Aus der allgemeinen Gleichung:
f(x) = [mm] ax^{3} [/mm] + [mm] bx^{2} [/mm] + [mm] cx^{1} [/mm] + d
ergab sich also folgende:
f(x) = [mm] ax^{3} [/mm] + [mm] bx^{2} [/mm] + [mm] cx^{1} [/mm] + d
Nun habe ich die ehrenwerte Aufgabe zu erklären / beweisen, warum das geht.
Also habe ich, auf der Suche nach der Lösung, bei Wikipedia nachgeschaut und herausgefunden, wie man eine Punktsymmetrie bez. des Koordinatenursprungs nachweist.
f(-x) = [mm] a(-x)^{3} [/mm] + [mm] b(-x)^{2} [/mm] + [mm] c(-x)^{1} [/mm] + d
f(-x) = [mm] -ax^{3} [/mm] + [mm] bx^{2} [/mm] - [mm] cx^{1} [/mm] + d | * (-1)
-f(-x) = [mm] ax^{3} [/mm] - [mm] bx^{2} [/mm] + [mm] cx^{1} [/mm] - d
-f(-x) [mm] \not= [/mm] f(x)
Daran ist zu erkennen, dass alle Summanden die ein x mit geradem Exponenten beinhalten weggestrichen werden müssen, da ansonsten das Vorzeichen nicht stimmt.
Glaubt Ihr, dass das als Erklärung ausreicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Mo 27.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo hurricane!
Da sieht doch schon ganz gut aus. Ich würde allerdings auch noch den "positiven Beweis" führen, indem Du die Eigenschaft der Punktsymmetrie $f(-x) \ = \ -f(x)$ für das Polynom mit ausschließlich ungeraden Exponenten führst:
$f(x) \ = \ [mm] a*x^3+c*x$
[/mm]
$f(-x) \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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Danke!
Freut mich zu hören, dass ich auf dem richtigen Wege bin!
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